2017年西安建筑科技大学理学院818高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 问函数
【答案】函数在[1, 4]上可导, 令
2． 求函数
【答案】因为
, 故
3． 在第一卦限内作椭球面
的切平面，使该切平面与三坐标面所围成的四面体
, 得驻点
（舍去）,
, 比较
在何处取得最大值? 并求出它的最大值。
得函数在处取得最大值, 且最大值为
的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式
,
的体积最小. 求这切平面的切点，并求此最小体积.
【答案】设切点为
，
曲面在点M 处的切平面方程为
即
于是，切平面在三个坐标轴上的截距依次为面体的体积为
，切平面与三个坐标面所围成的四
在数
的条件下，求V 的最小值，即求分母的最大值。作拉格朗日函
令
，并由约束条件
从而
于是，得可能极值点四面体的最小体积为
4． 确定下列函数的单调区间:
。由此问题的性质知，所求的切点为
，得
，
【答案】（l ）函数的定义域
为
令当
1 得驻 点 及 时 , 因此函数在 内可导, 且 令当 , 得驻 点 时, （舍去） , 。它 把 分成二个部分区 间 时, , 因此 上单调增加; 当一 , 因此函数在[-1, 3]上单调减少。 这两个驻点 把 分成三个部分区 间 , 在 内可导, 且 （2）函数的定义域为 , 因此函数在（0, 2]上单调减少; 因此函数在 函数在上单调增加。 （3）函数除x=0外处处可导, 且 令y’=0, 得驻点, 当 内单调减少; 当 （4）函数在 , 时, 内可导, 且 因此函数在（5）函数在 内单调增加。 内可导, 且 令 , 得驻点 及 当 及 。 时 , , 因此函 数 。这两个驻点及点x=0把区间 。 时, , 因此函数在, 因此函数在 , 分成四个部分区间 , 上单调增加。 , 这两个驻点把区间 分成三个部分区间 上单调减少, 当
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