2017年西安建筑科技大学理学院818高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 将xOz 坐标面上的圆
【答案】以即
2． 设
【答案】
3． 己知均匀矩形板（面密度为常量
，其中f （y ）为可微分的函数，求F 〞（x ）。
）的长和宽分别为b 和h ，计算此矩形板对于通过其形心绕z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.
代替圆方程
中的x ，得
且分别与一边平行的两轴的转动惯量。
图
【答案】建立如图的坐标系，使原点o 为矩形板的形心，x 轴和y 轴分别平行于矩形的两边，则所求的转动惯量为
4． 一平面过点（1，0，﹣l ）且平行于向量a=（2，1，1）和b=（1，﹣1，0），试求这平面方程.
【答案】所求平面平行于向量a 和b ，可取平面的法向量
故所求平面为1·（x －1）＋1·（y －0）－3·（z ＋1）=0，即
x ＋y －3z －4=0
5． 利用格林公式，计算下列曲线积分：
（1
）
的三角形正向边界； （2
）
（3）由点（0, 0）到
（4）的一段弧。
【答案】（1）设D 为L 所围的三角形闭区域，则由格林公式，
（2）由于
故由格林公式得（3）由于
在xOy 面内具有一阶连续偏导数，且
故所给曲线积分与路径无关，于是将原积分路径L 改变为折线路径ORN ，其中O 为为
，N 为
，得
（图）
R
的一段弧；
其中L 是在圆周
由点（0, 0）到点（1, 1）其中L 为在抛物线
上
其中L 为正向星形
线
其中L
为三顶点分别为
和
图
（4）由
于
在xOy 面内具有一阶连续偏导数，
且
，故所给曲线积分与路径无关。于是将原积分路径L 改为折线路径ORN ，其中O
，R 为（1, 0），N 为（1, 1），得
为（0, 0）（图）
图
6． 单调函数的导函数是否必为单调函数? 研究下面这个例子:
【答案】单调函数的导函数不一定是单调函数。例如函数
,
且
在任何有限区间内只有有限个零点。因此函数f （x ）在
在
内却不是单调函数。
内为单调增加函
数。但它的导函数
7． 设曲线L 的方程为
（1）求L 的弧长.
（2）设D 是由曲线L ，直线x=1，x=e及x 轴所围平面图形，求D 的形心的横坐标. 【答案】（1）
，代入弧长的公式，得
,
由于