2018年湖南科技大学商学院832高等代数B考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为常数，则
A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由于所以又显然有基础解系.
考虑到 2． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合冋，也不相似
【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知的特征值为1，1，0, 所以A 与B 合同，但不相似.
3． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
A. B.
C.
所以A 的特征值为3, 3, 0; 而B
则A 与B （ ）.
是.
的一个特解，所以选C.
（否则与
是非齐次线性方程组是对应齐次线性方程组
有解矛盾），所以
的三个线性无关的解， 的两个线性无关的解.
从而
是
的一个
矩阵，
是非齐次线性方程组
的3个线性无关的解，
为任意
的通解为（ ）.
【答案】C
【解析】而
不一定是线性变换，比如不是惟一的.
. 则也不是线性变换，比如给,
4． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ,
则有（ ）.
A. 交换A *的第1列与第2列得B * B. 交换A *的第1行与第2行得B * C. 交换A 的第1列与第2列得- B D. 交换A 的第1行与第2行得- B 【答案】C
【解析】解法1:题设又
所以有
*
*
*
*
与分别为A , B 的伴随矩阵，
所以有
即题设
因此
即
5． 在n 维向量空间取出两个向量组, 它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
中选三个向量组
，从而否定A , 若选
右乘初等阵
所以
得
解法2
若选故选B.
, ，从而否定C ,
二、分析计算题
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6． （1）为n 维线性空间V 的线性变换，且
与
互素，则
，其中
为的最小多项式. 证明:如果
,
（2）设
3维线性空间V 的线性变换在一组基多项式
由于从而有 这样，令同理可得
此说明所以由此可得又所以即
综上可得（2）设
由于取
由（1）知）这里又
分别与如下齐次线性方程组
. .
，可得A
的特征多项式无解，所以A 的最小多项式,
显有两者互素
，
，
, 有 , 并对于
，
下的矩阵为求
的最小
的一次因式方幂的分解式将V 分解成直和形式.
使
（E 为恒等变换）
则有
互素，所以存在多项式
【答案】 （1）由题设
.
.
，
的解空间同构，且所以有
的一个基础解系分别为