2018年湖南师范大学数学与计算机科学学院958数学基础综合[专业硕士]之高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、选择题
1． 设
则3条直线
①
（其中A. B. C. 秩D.
线性相关，
【答案】D 【解析】令其中
秩由秩
. ，可知
则方程组①可改写为
②
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
可知1
线性相关，即
可由
线性表出，
方程组①有惟一解
方程组②有惟一解
线性相关 线性无关
线性无关
）交于一点的充要条件是（ ）
从而可由线性表出. 线性相关，故选D.
2． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，
如
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E所以有
B （E-A ） =E
又C （E-A ）=A故
（B-C ）（E-A ）=E-A
结合E-A 可逆，得B-C=E.
则为（ ）.
3． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似
D. 不合同不相似
【答案】A
则
A 与B （ ）.
【解析】因为
A ，
B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为
即A 也有4个特征值0, 0, 0, 4.因而存在正交阵
其中得
因此A 与B 合同.
4． 设A 、B 为满足
, 故
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式使
的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关
，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A
的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设设
由于
性相关. 又由方法2:设考虑到
即
故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关.
知，
由已知及以上证明知B' 的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于
所以有
所以有
可推得AB 的第一列
并记A 各列依次为
从而
线
由于
不妨
二、填空题
5． 设A 为
【答案】6
矩阵，=_____.
把A 按列分块为，其中是A 的第j 列，则
【解析】
因为
6． 设A 是4X3矩阵，且A 的秩
【答案】2 【解析】
【答案】3 【解析】. 又由于所以
，
所以
.
是可逆阵，
而
则
则
_______
7． 设A , B为3阶矩阵，且=_____
，
8．
设
是3阶方阵A 的伴随阵，
所以
则
_____.
【答案】
【解析】因为
三、分析计算题
9．
取什么值时，下列二次型是正定的：
【答案】
因为二次型正定的条件是
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