2018年湖南师范大学数学与计算机科学学院841高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、填空题
1． （1）线性方程组
（2）若A 是（3）设n 维向量（5）令
有解的充分必要条件是_____
矩阵，秩A=r秩B=s, AB=0则n , r , s 的关系是_____
由向量组
线性表示，则
一定_____
（4）秩A=r则A 的所有r+2级子式=_____而A 的所有r 级子式_____；
Q 为可逆阵，则A 的广义逆G 必是形式为_____的矩阵；
（6）两个n 级方阵A 与B 是合同的，则B=_____ （7）设V 1, V 2是V 的子空间，维V 1=维V 2=m, 维（8）在空间【答案】（1）秩
（2）
（3）线性相关.
（4）0; 至少有一个不为0. （5）（6）
（7）（8）0； P 【解析】（3）因为
线性相关.
（5）令
那么
（7）因为维（8）取
的一组基为
维
维则
维
可由
线性表出，所以秩
秩
此即
，其中T 为n 级可逆阵.
中，线性变换秩
则维（V 1+ V2）=_____
则D 的特征值是_____，D 的核是_____
D 的特征值全为0, 且（因为常数的导数等于0）.
2． 设
E 是4阶单位矩阵.
则
_________
【答案】【解析】
3． 设
【答案】1 【解析】因为
，则=_____.
4． 设A , B为3阶矩阵，E 是3阶单位阵，满足
则B=_______ 【答案】【解析】
又因为
可逆. 所以
已知
二、分析计算题
5． 设A 为数域F 上的
【答案】因为
矩阵，其秩为r ，试求满足下式的所有矩阵X （给出公式）：
所以存在m 阶可逆矩阵阶可逆矩阵Q , 使
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首先
，如
即
则有
令则式所以
其次，由式
直接验证可知
所以，
满足 6．
设与
的所有解为
则和空间
等价于
这里B 为r 阶方阵.
则
均为有限维线性空间
V 的子空间，
且中一个重合
与另一个重合.
【答案】
因为 所以
由题设
所以
即
当此时
当因为
时，由得
时
所以
此时，
.