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一、证明题

1． 设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明:

【答案】（1）由于

存在，所以该级数绝对收敛，从而有

（2）

2． 若事件A 与B 互不相容，且

，证明:

【答案】

3． （伯恩斯坦大数定律）设有

【答案】记有

所以

由的任意性知

所以由马尔可夫大数定律知

服从大数定律.

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是方差一致有界的随机变量序列，且当服从大数定律.

任对

存在

当

时，一致地

时，

证明:

4． 设连续随机变量X 服从柯西分布，其密度函数如下:

其中参数

（1）试证X 的特征函数为（2）当（3）若

【答案】（1）因为

时，记Y=X, 试证

相互独立，且服从同一柯西分布，试证:

的密度函数为

y 的特征函数为

下证柯西分布的可加性，设若

与

相互独立，则

这正是参数为为

（2）当所以

由于

当然X 与Y 不独立.

不能推得X 与Y 独立. 的柯西分布，则特征函数为

由相互独立

此题说明，由

（3）设

都服从参数为性得:

即

的特征函数为

的柯西分布.

时有

的柯西分布的特征函数，所以由唯一性定理知，

服从参数

由此得服从参数为

的特征函数

的柯西分布，其密度函数为

常记为

且利用此结果证明柯西分布的可加性；

但是X 与Y 不独立；

与

同分布.

与具有相同的特征函数，由唯一性定理知它们具有相同的分布.

，证明:

；

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5． 对于组合数

（1）（2）（3）（4）（5）

（6）

【答案】（1）等式两边用组合数公式展开即可得证. （2）因为

（3）因为

（4）因为

所以

（5）设计如下一个抽样模型:一批产品共有a+b个，其中a 个是不合格品，b 个是合格品，从中随机取出n 个，

则事件=“取出的n 个产品中有k 个不合格品”的概率为

由诸互不相容，且

得

把分母移至另一侧即得结论.

注:还有另一种证法:下述等式两端分别展开

可得

比较上式两端的系数即可得

（6）在（5）中令

，则得

再利用（1）的结果即可得证.

6． 设随机变量X

有密度函数Y=与

不相关、但不独立. 【答案】因为

不相互独立，特给定

使得

所以

这表明:X 与

现考查如下特定事件的概率

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且密度函数是偶函数，假定证明:X 与不相关.

为证明