2018年江西财经大学统计学院808专业综合(概率论与数理统计)之概率论与数理统计教程考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设X , Y 独立同分布，都服从标准正态分布
【答案】因为由于
独立，都服从所以
2． 设二维随机变量
的联合密度函数为
求X 与Y 的相关系数.
【答案】先计算X 与Y 的期望、方差与协方差
.
最后可得X 与Y 的相关系数
所以
求
又因为
3． 某厂使用两种不同的原料生产同一类型产品，随机选取使用原料A 生产的样品22件，测得其平均质量为2.36（kg ）, 样本标准差为0.57（kg ）, 取使用原料B 生产的样品24件，测得其平均质量为2.55（kg ），样本标准差为0.48（kg ）, 设产品质量服从正态分布，两个样本独立，问能否认为使用原料B 生产的产品平均质量较使用原料A 显著大（取
则
）？
【答案】设X 为使用原料A 生产的产品质量，Y 为使用原料B 生产的产品质量，
，由问题的陈述，我们看到这是关于两总体均值的检验问题，
且为了能够显著地认为使用原料B 生产的产品平均质量较使用原料A 大，必须将该陈述作为备择假设，只有当拒绝与之相对立的原假设时，才能说明使用原料B 生产的产品平均质量较使用原料A 显著大，因此，可建立如下假设检验问题
为完成此假设检验，应先对两总体的方差是否相等进行检验， 若接受若
可以使用两样本t 检验；
不成立，则可以用近似t 检验，对于检验问题
，
可计算如下检验统计量若取拒绝域为若取
，则
，则
，观测值未落入拒绝域内，由此可以认为两个总体故拒绝域为
，由所给条件，计算得
由于
因此在显著性水平
时，应接受原假设
，即使用原料B
的方差相等，下面我们在方差相等的假定下检验上述关于均值的假设，此处可使用两样本t 检验，
生产的产品平均质量没有显著地超过使用原料A 生产的产品平均质量.
4． 一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的三倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一件，试求取到三级品的概率.
【答案】设取到三级品的概率为P ，则取到二级品的概率为2p ，取到一级品的概率为6p , 由6p +2p +P=1，解得
5． 在遗传学研究中经常要从截尾二项分布中抽样，其总体概率函数为
若已知m=2，
是样本，试求p 的最大似然估计.
的样本中有
个为1，
【答案】当m=2时，该截尾二项分布只能取1与2, 不妨设
有个为2，则其似然函数为（忽略常数）
对数似然函数为
将对数似然函数关于p 求导并令其为0得到似然方程
解之得
后一个等式是由于
6． 若总体X 服从如下柯西分布:
而
是它的一个样本，试求的估计量.
的估计量.
最小，则得
，很难说是
的一个合适的估计量，
，所以
代入上式即得.
【答案】由于柯西分布不存在数学期望，因此不能用一阶矩法估计得到若用最小二乘法，即使
因为这时无偏性、有效性都失去意义，而且与同分布，
说明也没有起到汇集的信息的作用，因而，这个估计量的相合性也就无从谈起. 因此，我们转而讨论的最大似然估计. 其似然函数为
其对数似然函数为
对求导可得对数似然方程为
这个方程只能求数值解，比如用牛顿迭代法. 由于是总体分布的中位数，因此可以用样本中位数作为迭代的初值. 所求得的这个数值解即为的最大似然估计. 从似然角度看，该方法得到的估计要比样本中位数估计更好些. 7． 设随机变量X 和Y 的数学期望分别为-2和2, 方差分别为1和4, 而它们的相关系数为根据切比雪夫不等式，估计
【答案】因为
所以
试
的上限.