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一、证明题

1． 利用特征函数方法证明如下的泊松定理:设有一列二项分布

则

【答案】二项分布因为而

2． 设随机变量

【答案】

3． 设随机变量X

有密度函数Y=与

不相关、但不独立. 【答案】因为

不相互独立，特给定

使得

所以X 与

4． 设总体为

证明样本均值和样本中程【答案】由总体这首先说明样本均值为求样本中程

不独立.

为样本，

都是的无偏估计，并比较它们的有效性. 得

是的无偏估计，且

的均值与方差，

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若

其中

的特征函数为所以当

时，

则

正是泊松分布的特征函数，故得证.

，试证明:

且密度函数所以

是偶函数，假定

这表明:X 与

现考查如下特定事件的概率

证明:X 与不相关.

为证明

因而

注意到则

令

由于从而

这就证明了样本中程是的无偏估计. 又注意到

所以

从而

于是

在

时,

这说明作为0的无偏估计，在

比样本均值有效.

的UMVUE ,

，则，且

是

的另一个无偏估计，

的无偏估计，故其差，由判断准则知1

*

即

6． 设

（1）

各以

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故

时，

样本中程

5． 设T 是

证明:若

【答案】因为T 是即这说明

的UMVUE ，是是0的无偏估计，

，

的概率取值

且假定

与相互独立. 令

证明:

（2）X 与既不相关也不独立.

【答案】（1）由全概率公式可得

所以（2）因为

且X 与Y 相互独立，所以

所以X 与Z 不相关. 为证明X 与Z 是不独立的，我们考查如下特定事件的概率，且对其使用全概率公式

考虑到而

7． 设

令证明:且

服从

则

相互独立，

所以

相互独立，服从

故有

即X 与Z 不独立.

【答案】令

再令则

所以变换的雅可比行列式为:

计算该行列式，可得

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