2017年上海海洋大学国家海洋局(联合培养)601高等数学考研仿真模拟题
● 摘要
一、填空题
1． 设
为
，其面积为A ，则
_____。
【答案】36A 【解析】由曲面方程
又
将其代入被积函数得
可知，该曲面关于xOy 平面对称，故
。
2．
设函数f 是可导函数，
【答案】
两边分别对X 求导得
又
故
解得
。 由方程
，则
_____。
所确定，且
，其中
【解析】在方程
3． 过x 轴和点（1, -1, 2）的平面方程为_____。
【答案】
。又所求平面经过点
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【解析】由题意知，所求平面经过x 轴，故可设其方程为
，故其满足平面方程，
得
（1, -1, 2）
。
4． 从平面端点坐标为_____。
【答案】【解析】平面平面
的直线方程为
的法向量为上的点
即
故所求平面方程为，
即
出发，作长等于12 单位的垂线，则此垂线的
，则过点且垂直于
即
由所求点到已知平面的距离为12，可知
解得 5． 设锥
面
，将其代入直线的参数方程可得所求点为
与半球面围成的空间区域
，
_____。
【答案】
是
的整个边界的外侧，
则
6． 设是由
【答案】【解析】令
为球体
，则
所确定，则
_____。
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二、计算题
7． 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋, 现有存砖只够砌20m 长的墙壁。问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大?
【答案】如图, 设这问小屋的宽为x , 长为y , 则小屋的面积为S=xy。 已知令由
, 即
, 得驻点
知x=5为极大值点, 又驻点惟一, 故极大值点就是最大值点, 即当宽为5m , 长为10m
, 故
时这间小屋的面积最大。
图
8． 设平面区域
【答案】由对称性可得
9． 求曲线
【答案】
t=0对应的点为（2, 1），故曲线在点（2, 1）处的切线方程为即
法线方程为
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，计算
在t=0相应的点处的切线方程及法线方程。
，
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