2017年中国矿业大学(徐州)矿业工程学院827数理统计考研导师圈点必考题汇编
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2017年中国矿业大学（徐州）矿业工程学院827数理统计考研导师圈点必考题汇编（一）.... 2 2017年中国矿业大学（徐州）矿业工程学院827数理统计考研导师圈点必考题汇编（二）.. 12 2017年中国矿业大学（徐州）矿业工程学院827数理统计考研导师圈点必考题汇编（三）.. 20 2017年中国矿业大学（徐州）矿业工程学院827数理统计考研导师圈点必考题汇编（四）.. 29 2017年中国矿业大学（徐州）矿业工程学院827数理统计考研导师圈点必考题汇编（五）.. 38
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一、证明题
1． 设
独立同分布，其共同的密度函数为
（1）证明：（2）计算
和
的均方误差并进行比较；
的估计中，故
最优.
这说明是则Y 的密
都是θ的无偏估计；
（3）证明：在均方误差意义下，在形如【答案】（1）先计算总体均值为θ的无偏估计. 又总体分布函数为度函数为
于是有
这表明
也是θ的无偏估计.
（2）无偏估计的方差就是均方误差. 由于
故有
又
从而
由于（3）对形如
因此在均方误差意义下，的估计有
优于
故
因此当
时，上述均方误差最小. 所以在均方误差意义下，在形如
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的
估计中，最优.
2． 对任意的事件A ，B ，C ，证明：
（1）（2）【答案】⑴
（2）因为
所以
3． 设连续随机变量X 的密度函数P （X ）关于c 点是对称的，证明：其分布函数F （x ）有F （c-x ）=1-F（c+x）
，
由
对上式右端积分作变量变换y=c-t，则
再对上式右端积分作变量变换z=c+y，则
结论得证.
对称分布函数的这个性质可用图表示：
【答案】由p （x ）关于c 点是对称的，知
图
4． 如果
【答案】记因为
, 试证:
与X 的分布函数分别为
, 故存在
, 使当
和时, 有
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. 对任给的
取足够大的和
使
是F （x ）的连续点, 且
令而
, 因为, 故存在使当
, 时, 有
由M 的定义即可知当
_时, 有
因而
5． 设
, 由的任意性知
是来自两参数指数分布
的样本, 证明（
）是充分统计量.
结论得证.
, 所以有
而对于
【答案】由已知, 样本联合密度函数为
令
, 由因子分解定理,
是
的充分统计量•
6． 设X , Y 均为（0, 1）上独立的均匀随机变量, 试证:
【答案】因为（X , Y ）的联合密度函数为
所以
7． 设A ，B ，C 为三个事件，且P （A ）=a，P （B ）=2a，P （C ）=3a，P （AB ）=P（AC ）=P（BC ）=b.证明
：
【答案】由又因为
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得