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一、计算题

1．

设

为曲

面

.

【答案】设

为

所围成部分的下侧，记由

因为

所以

因此，计算得

.

2． 指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：

（1）x=0; （2）3y －1=0; （3）2x －3y －6=0; （4）（5）y ＋z=1; （6）x －2z=0; （7）6x ＋5y －z=0.

【答案】（l ） ～（7）的平面分别如图1-图7所示. （1）x=0表示yOz 坐标面. （2） 3y －1=0表示过点

且与y 轴垂直的平面.

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的上侧，计算曲面积

分

所围立体为，则

;

（3）2x －3y －6=0表示与z 轴平行的平面. （4）

表示过z 轴的平面.

（5）y ＋z=1表示平行于x 轴的平面. （6）x －2z=0表示过y 轴的平面. （7）6x ＋5y －z=0表示过原点的平面

.

图1 图2 图

3

图4 图5 图

6

图7

3． 求联系华氏温度（用F 表示）和摄氏温度（用C 表示）的转换公式，并求

（1） 90°F 的等价摄氏温度和-5°C 的等价华氏温度;

（2）是否存在一个温度值，使华氏温度计和摄氏温度计的读数是一样的? 如果存在，那么该温度值是多少?

【答案】设F=mC+b，其中m ，b 均为常数。 因为F=32°相当于C=0°，F=212°相当于C=100°，所以或

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，故F=l.8C+32

（1）

（2）设温度值t 符合题意，则有

即华氏-40°恰好也是摄氏-40°。

2

4． 设抛物线y=ax+bx+c通过点（0，0），且当x ∈[0, 1]时，y ≥0。试确定a ，b ，c 的值，使得抛物线y=ax+bx+c与直线x=1，y=0所围图形的面积为，且使该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积最小。

，可得c=0。 【答案】由已知条件：抛物线y=ax+bx+c通过点（0，0）抛物线y=ax+bx+c与直线x=1，y=0所围图形的面积为

从而得到

，即

。该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为

因此当b=2时体积最小，此时此抛物线满足y ≥0, 故所求解：

5． 试确定积分区域D ，使二重积分

达到最大值.

大于所围的

，抛物线为

，b=2，c=0符合题目要求。

，在区间[0, 1]上，

2

2

2

【答案】由二重积分的性质可知，当积分区域D 包含了所有使被积函数等于零的点，而不包含使被积函数平面闭区域时，此二重积分的值达到最大.

6． 求级数

【答案】由

的和。

得

将上式进行两次逐项求导，得

故

小于零的点，即当D 是椭圆

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