2017年西安理工大学769数学综合之概率论与数理统计教程复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 一个系统由多个元件组成，各个元件是否正常工作是相互独立的，且各个元件正常工作的概率为p. 若在系统中至少有一半的元件正常工作，那么整个系统就有效. 问p 取何值时，5个元件的系统比3个元件的系统更有可能有效？
【答案】记X 为5个元件的系统中，正常工作的元件数；Y 为3个元件的系统中，正常工作的元件数. 则X 〜b （5，p ），Y 〜b （3，p ）.
对X 而言，系统有效的概率为
对Y 而言，系统有效的概率为
根据题意，求满足下式的P :
即
上述不等式可简化为从而有
2． 设随机变量X 的密度函数为
试求下列随机变量的分布：【答案】（1）因为
的可能取值区间为（-3，3），且
且
所以
格单调増函数，其反函数为
在区间（-1，1）上为严的密度函数为
（2
）因为
的可能取值区间为（2，4），且
且
所以
在区间（-1，1）上为严格单的密度函数为
（3）因为而当0 1）1），的可能取值区间为（0，所以在区间（0，外，的密度函数为的分布函数为 第 2 页，共 18 页 调减函数，其反函数为 上式两边关于y 求导，得 即 这是贝塔分布Be （3/2，1）. 3． 假定考生成绩服从正态分布，在某地一次数学统考中，随机抽取了36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？ 【答案】本题是关于正态总体均值的假设检验问题，由于总体方差未知，故用t 检验法，欲检验的一对假设为： 拒绝域为由已知条件因为著差异. 注：这里没给出容量为36的样本数据，只给出样本均值与样本标准差s. 由于与s 是正态分布 的充分统计量，而充分统计量是不会失落样本中的有用信息，故给出与s 的值，等价 于给出具体的样本数据. 这一现象会在很多场合里出现. 4． 甲口袋有5个白球、3个黑球，乙口袋有4个白球、6个黑球，从两个口袋中各任取一球，求取到的两个球颜色相同的概率. 【答案】从两个口袋中各取一球，共有出黑球，这共有 种取法，于是 5． 设 与 是从同一正态总体 独立抽取的容量相同的两个样本均值. 试确定样本容量且相互独立, 所以 第 3 页，共 18 页 当显著性水平为0.05时， s=15, 故检验统计量的值为 故接受原假设，可以认为这次考试全体考生的平均成绩与70分无显 种等可能取法，而两个球颜色相同有两种情况： 第一种是从甲口袋取出白球、从乙口袋也取出白球；第二种是从甲口袋取出黑球、从乙口袋也取 n , 使得两样本均值的距离超过的概率不超过0.01. 【答案】由于 于是有 等价地, 最后结果表明, 只要样本容量n 多14. 就可使同一正态总体的两样本均值距离超过标准差的可能性不大于0.01. 这意味着, 只要样本容量较大, 两样本均值的距离不超过的可能性是很大的, 可达0.99. 6． 有一批电子产品共50台，产销双方协商同意找出一个检验方案，使得当次品率拒绝的概率不超过0.05, 而当案. 【答案】此类检验问题的拒绝域为：受概率 满足如下不等式组 由于批量N=50不太大，因此应该用超几何分布计算接收概率L （p ）: 通过编程搜索可以找到，当n=ll，c=l时， c ），可以满足要求，于是检验方案为（n ，它表示在抽取11件产品检查其中的不合格品件数>1，则拒受该批产品，否则接受. 7． 两台车床加工同样的零件，第一台出现不合格品的概率是0.03，第二台出现不合格品的概率是0.06，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件数比第二台加工的零件数多一倍. （1）求任取一个零件是合格品的概率； （2）如果取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率. 【答案】记事件A 为“取到第一台车床加工的零件”，则格品 （1）用全概率公式 （2）用贝叶斯公式 又记事件B 为“取到合 . 因此，本问题归结为找出n 与c , 使得接 时 时，接受的概率不超过0.1，请你帮助找出适当的检验方 第 4 页，共 18 页