2017年西安理工大学769数学综合之概率论与数理统计教程考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 从一批钢管抽取10根，测得其内径（单位：mm ）为：
试分别在下列条件下检验假设（
设这批钢管内直径服从正态分布（1）已知【答案】（1）当查表知
（2）未知.
）
.
已知时，应采用检验，此时检验的拒绝域为若取
由样本数据计算如下结果，
检验统计量未落入拒绝域中，应接受原假设，不能认为（2）当未知时，应采用t 检验，拒绝域为显著性水
平s=0.4760,
查表
得
一其中检验统计量
取
由样本观测值计算
故接受原假设.
2． 假设有10只同种电器元件，其中有两只不合格品. 装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是不合格品，则扔掉重新任取一只；如仍是不合格品，则扔掉再取一只，试求在取到合格品之前，已取出的不合格品数的方差.
【答案】记X 为取到合格品之前，已取出的不合格品数，则X 的分布列为
表
由此得
3． 设需要对某正态总体的均值进行假设检验
已知样本容量.
【答案】由于本题中正态总体的方差已知，对于单侧假设检验问题，拒绝域的形式为其中是，当
若取显著性水平
查表得知
即检验的拒绝域为
，，于
取
若要求当
中的
时犯第二类错误的概率不超过0.05, 求所需的
时，检验犯第二类错误的概率应满足
即
由于是的减函数，因此只需满足
4． 求掷n 颗骰子出现点数之和的数学期望与方差.
【答案】记为第i 颗骰子出现的点数, 列为
表
所以
由此得
5． 将12个球随意地放入3个盒子中，试求第一个盒子中有3个球的概率.
【答案】将12个球随意放入3个盒子中，所有可能结果共有
个，而事件“第一个盒子中有
种可能；第二
3个球”可分两步来考虑：第一步，12个球中任取3个放在第一个盒子中，这有
则
独立同分布, 其共同的分布
即可，由此可解得
步，将余下的9个球随意放入第二个和第三个盒子中，这有29种可能，于是所求概率为
6． 设
为独立同分布的随机变量序列, 其共同的分布函数为
试问:辛钦大数定律对此随机变量序列是否适用？
【答案】此为柯西分布的分布函数, 而柯西分布的数学期望不存在, 因为辛钦大数定律要求数学期望存在, 所以辛钦大数定律对此随机变量序列不适用.
7． 设X 是只取自然数为值的离散随机变量. 若X 的分布具有元记忆性，即对任意自然数n 与m ，都有
【答案】由无记忆性知
则X 的分布一定是几何分布.
或
若把n 换成n-1仍有
上两式相减可得
若取n=m=l，并设P （X=l）=p，则有
若取n=2，m=l，可得
若令
则用数学归纳法可推得
这表明X 的分布就是几何分布.
8． 为研宄某型号汽车轮胎的磨耗，随机选择16只轮胎，每只轮胎行驶到磨坏为止，记录所行驶路程（单位：km ）如下：
未知，求的置信水平为0.95的单侧置信下
s=1346.84, 利用未知场合的的单
代入可得
假设这些数据来自正态总体限.
，其中
【答案】先计算样本均值与样本标准差s ，侧置信下限
，这里n=16,
二、证明题
9． 设
是来自两参数指数分布
的样本, 证明（
）是充分统计量.
【答案】由已知, 样本联合密度函数为
令
10．设
, 由因子分解定理,
是来自二点分布b （1, p ）的一个样本，
是
的充分统计量•
（1）寻求的无偏估计； （2）寻求p （1-p ）的无偏估计；