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一、证明题

1． 证明:对正态分布

，若只有一个观测值，则的最大似然估计不存在.

【答案】在只有一个观测值场合，对数似然函数为

该函数在似然估计不存在. 2． 设

是来自正态分布

的样本，证明，在给定

下

是充分统计量. 的条件密度函数为

时趋于，这说明该函数没有最大值，或者说极大值无法实现，从而的最大

【答案】由条件，

它与无关，从而

3． 设X 为非负随机变量，a>0.

若

【答案】因为当a>0时

，

4． 证明公式

【答案】为证明此公式，可以对积分部分施行分部积分法，更加简单的方法是对等号两边分别关于p 求导，证明其导函数相等.

注意到将等式右边的求导可给出

而对

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是充分统计量.

存在，证明:对任意的x>0,

有

是非负不减函数，所以由上题即可得结论.

对

其和前后项之间正好相互抵消，最后仅留下一项，也为这就证明了两者导函数相等，并注意到两者在

5． 设总体为如下离散型分布

表

是来自该总体的样本.

（1）证明次序统计量（2）以表示【答案】（1）给定但必有

中等于

是充分统计量； 的个数，证明的取值

于是，对任一组并

设满足

是充分统计量.

中有个中有个

时都为0, 等式得证.

可以为0,

有

该条件分布不依赖于未知参数，因而次序统计量（2）反之，给出这只要通过令

即可实现（这里默认

6． 证明:

（1）（2）

【答案】（1）由

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是充分统计量.

就可算得

与是一一对应的，因为给出

也可构造出

，

），因此，是充分统计量.

.

，移项即得结论.

（2）对n 用数学归纳法，当n=2时，由（1）知结论成立. 设n-1时结论成立，即

则由（1）知

7． 设随机变量X 与Y 相互独立，且方差存在. 证明:

【答案】

8． 设分统计量.

【答案】由几何分布性质知，

其分布列为

在给定

后，对任意的一个样本

有

是来自几何分布

的样本，证明

是充

该条件分布与无关，因而

是充分统计量.

个

和个

譬如

这n 个分布，且

把此序列分成n 段，每段中

的个数依次记为

这里诸

服从几何

这个条件分布是离散均匀分布，可用等可能模型给其一个解释:设想有把它们随机地排成一行，并在最后位置上添上1个

我们指出，此种序列共有个（这是重复组合），而每一个出现这就是在

给定后

的

是等可能的，

即每一个出现的概率都是条件联合分布.

这个条件分布还表明:

当已知统计量

的值t 后，就可按此条件分布产生一个样本

它虽与原样本不尽相同，但其分布相同.

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