2017年北京交通大学08106物理基础综合测试二之量子力学复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 在自旋向上的状态中，测量有哪些可能的值？这些可能的值各以多大的几率出现？ &的平均值是多少？
【答案】（1）自旋角动量在空间任意方向在表象，的矩阵元为：
的投影为：
其相应的久期方程为：即：利用解得：
的本征函数的矩阵表示为
可得：
所以，的本征值为（2）设对应于
则：
由归一化条件，得：
可见，的可能值为而
2． 设
相应的几率为
为氢原子束缚态能量本征函数（已归一），考虑自旋后，
某态表示为
在该态下计算（结果应尽量化简）：
（1）在薄球壳（2）在薄球壳（3）
内找到粒子的几率。 内找到粒子且自旋沿
的几率。
为总角动量，计算在该态下的平均值。
在薄球壳
内找到粒子的概率
【答案】（1）由题意可得
：为：
（2）在薄球壳内找到粒子且自旋沿+x的几率可表示 为：
故：
已知在本征态表象下因此有：
（3）在
下的平均值为：
3． 设已知在，值为
的共同表象中，算符的矩阵分别为试在取
的本征态下求的可能取值和相应的概率及的平均值.
设
的本征态矢为
则由
【答案】可能取得的值有可以解得同理由
为
4． 在并将矩阵
的共同表象中，算符4的矩阵为对角化.
可以解得
概率为
时态矢为
概率为
态矢
平均值为
求的本征值和归一化的本征函数，
【答案】（1）设的本征方程为：其中本征函数：
容易解得的本征值和相应的本征态矢分别为
（2）将
表象中
的三个本征矢并列，得到从
表象到
表象变换矩阵
利用变换公式：
5． 氢原子处于状态（1）求轨道角动量的z
分量（3）求总磁矩【答案】⑴
得到的对角化矩阵
的平均值。 的z 分量
的平均值。
（2）求自旋角动量的z
分量的平均值。