2016年首都师范大学数学科学学院基础数学数学物理数学教育之高等数学复试笔试仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 求球面
含在圆柱面
内部的那部分面积。
。
【答案】如图所示，上半球面的方程为
由曲面的对称性得所求面积为
图
2． 已知一组实验数据为
。现若假定经验公式是
试按最小二乘法建立a ，b ，c 应满足的三元一次方程组。 【答案】设M 是各个数据的偏差平方和，即
令
整理，得a ，b ，c 应满足的三元一次方程组如下
3． 设有一平面薄板（不计其厚度），占有xoy 面上的闭区域D ，
薄板上分布有面密度为
的电荷，且
任取一点
， 则
在D 上连续，试用二重积分表达该薄板上的全部电荷Q.
，其面积也记为
.
. 通过求和、取极限，便
上分布的电荷
【答案】用一组曲线网将D 分成n 个小闭区域得到该板上的全部电荷为
其中
4． 在第一卦限内作椭球面
的切平面，使该切平面与三坐标面所围成的四面体
。
的体积最小. 求这切平面的切点，并求此最小体积.
【答案】设切点为
，
曲面在点M 处的切平面方程为
即
于是，切平面在三个坐标轴上的截距依次为面体的体积为
，切平面与三个坐标面所围成的四
在数
的条件下，求V 的最小值，即求分母的最大值。作拉格朗日函
令
，并由约束条件
从而
于是，得可能极值点四面体的最小体积为
。由此问题的性质知，所求的切点为
，得
，