当前位置：问答库＞考研试题

一、计算题

1． 设

【答案】令

，其中f 具有二阶导数，求

，则

。记

。

，

2． 求由曲线

，直线x=4及x 轴所围图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积。

【答案】如图，取x 为积分变量，则x 的变化范围为[0, 4]，因此体积为

图

3． 设存在，求下列函数的二阶导数。

【答案】

4． 求下列微分方程满足所给初始条件的特解：

【答案】（1）原方程可以表示成伯努利方程令解得

将x=1, y=1, 得

（2

）令

代入上式。得

故所求特解为

则原方程化为

代入初始条件

得

代入初始条件（3）在方程于是

代入初始条件故有

即

即

则且原方程化为一阶线性方程

即原方程的通解为

分离变量并积分

从而有

于是

得

有初始条件

即

得C 2=0.故所求特解为两端同乘以

得

并因

则有

即

时，故上式开方后

取

分离变量并积分代入初始条件

得得

故所求特解为

因

即

不

（4）由原方程对应齐次方程的通解为是特征方程的根，故

令

比较系数得并有代入初始条件即

故所求特解为

故

有

是原方程的特解，并代入原方程，

得且原方程的通解为

5． 用洛必达法则求下列极限:

（1）（2）

（3） （4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）

;

; ;

; ;

;

; ; ; ;

;