2016年复旦大学信息科学与工程学院、基础医学院高等数学(同等学力加试)复试笔试仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 在抛物线y=x2上取横坐标为x 1=1及x 2=3的两点，作过这两点的割线. 问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线?
【答案】割线的斜率
2
即2x 0=4， 故x 0=2，
假设抛物线上点（x 0，x 0）处的切线平行于该割线，则有
由此得所求点为（2，4）。
2． 已知△ABC 的顶点为A （3，2，﹣1），B （5，﹣4，7）和C （﹣1，l ，2），求从顶点C 所引中线的长度.
【答案】设AB 中点的坐标为
，由
从而顶点C 所引中线的长度
3． 求过点
【答案】
将点
（2，9，﹣6）且与连接坐标原点及点
=（2，9，﹣6）. 所求平面与
的线段，
垂直的平面方程. ，设所求平面方程为
垂直，可取n=
2x ＋9y －6z ＋D=O
（2，9，﹣6）代入上式，得D=﹣121. 故所求平面方程为
2x ＋9y －6z －121=0
4． 求与坐标原点O 及点（2，3，4）的距离之比为1:2的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？
，根据题意有
【答案】设动点坐标为（x ，y ，z ）
化简整理得
它表示以
为球心，以
为半径的球面.
5． 将函数
【答案】作
是f （x ）的奇延拓，令
在z=2kπ（k ∈Z ）处间断，又在收敛于f （x ）。
故
是上
的周期延拓，则
因此
满足收敛定理的条件，而的傅里叶级数在
上
展开成正弦级数。
6． 由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力F （单位:N ）与伸长量:（单位:cm ）成正比，即F=ks（k 是比例常数）. 如果把弹簧由原长拉伸6 cm，计算所作的功.
【答案】
二、证明题
7． 验证罗尔定理对函数
【答案】函数
在在区间
上的正确性。 上连续，在
即
使
故f （x
）在又
，因此罗尔定理对函数
8． 求过点（3, 1，﹣2）且通过直线
【答案】利用平面束方程，过直线
的平面方程. 的平面束方程为
将点（3, 1，﹣2）代入上式得
. 因此所求平面方程为
上满足罗尔定理条件，
由罗尔定理知至少存在一点
，
令
在区间
得
上是正确的。
取n=0
，
内可导，又
即
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