2016年南京大学天文与空间科学学院2601笔试(高等数学)复试笔试仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 把抛物线y 2=4ax及直线x=x0（x 0>0）所围成的图形绕x 轴旋转，计算所得旋转题的体积。
【答案】该体积即为
，x=x0及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转所得，因此体积为
2． 假设质点沿x 轴运动的迷度为
【答案】质点运动的加速度为
3． 设
（1）（2）（3）（4）
不存在 不存在
，当n=1时，
，
故对任意
均为非负数列，且
下列陈述中哪些是对的，那些是错的? 如果是对的，说明理由；如果是错的，试给出一个反例。
，试求质点运动的加迷度。
【答案】（1）错，例如
不成立。
（2）错，例如（3）错，例如（4）对，因为若
4． 设a 【答案】根据定积分几何意义, 存在，则 ，当n 为奇数时 不成立。 也存在，与已知条件矛盾。 取得最大值? 表示的是由 , 以及x 轴所围成的图形在z 轴上方部分的面积减去x 轴下方部分面积。因此如果下方部分面积为0, 上方部分面积为最大时, 知 答:计算 的值最大, 即当a=0, b=1时, 积分 取得最大值。已 , 试用抛物线法公式（6）求出并列表 的近似值（取n=10, 计算时取4位小数） 按抛物线法公式（6）, 求得 5． 说明下列旋转曲面是怎样形成的： 【答案】 的旋转曲面，或表示xOz 面上的椭圆 表示xOy 面上的双曲线 面，或表示yOz 面上的双曲线 表示xOy 面上的椭圆 绕x 轴旋转一周而生成 绕x 轴旋转一周而生成的旋转曲面 . 绕y 轴旋转一周而生成的旋转曲 绕y 轴旋转一周而生成的旋转曲面 . 绕x 轴旋转一周而生成的旋转曲 表示xOy 面上双曲线 面，或表示xOz 面上双曲线 绕x 轴旋转一周而生成的旋转曲面 表示xOz 面上直线z=x+a或z=﹣x+a绕z 轴旋转一周而生成的旋 转曲面，或表示yOz 面上的直线z=y+a或z=﹣y+a绕z 轴旋转一周而生成的旋转曲面. 6． 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为和，销售量分别为需求函数分 别为 总成本函数为 试问:厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大? 最大总利润为多少? 【答案】解法一:总收入函数为 总利润函数为 和， 由极值的必要条件，得方程组 解此方程组，得。 时， 由问题的实际意义可知，厂家获得总利润最大的市场售价必定存在，故当厂家所获得的总利润最大，其最大总利润为 解法二:两个市场的价格函数分别为 总收入函数为 总利润函数为 由极值的必要条件，得方程组 解此方程组得 由问题的实际意义可知，当大，其最大总利润为 。 ，即 时，厂家所获得的总利润最 二、证明题 7． 证明多项式 【答案】假设多项 式 , 不妨设 函数f （x ）在使 , 但 可能有两个零点。 在[0, 1]上不可能有两个零点。 在[0, l]上有两个零点, 即存 在 内可导, 由罗尔定理知至少存在一点内恒不等于零, 故多项式 在 上不 在 使 上连续, 在