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一、计算题

1． 大炮以仰角α，初速度v 0发射炮弹，若不计空气阻力求弹道曲线。

【答案】取炮口在原点，炮弹前进的水平方向为2轴，铅直向上为Y 轴，设在时刻t ，炮弹位于

按题意有

且

解方程（1），

得

即

故弹道曲线为

代入初始条

件

解方程（2）,

得

得C 4=0，C 3=v0cos α，即

得

代入初始条

件

2． 利用魏尔斯特拉斯判别法证明下列级数在所给区间上的一致收敛性：

【答案】（1）

因为

所以

而级数（2）

收敛，从而原级数在

因为

上一致收敛。 所以

而级数（3）

收敛，从而原级数在

由于当

上一致收敛。 时，

故

而级数（4）

（-10, 10）上一致收敛。

（5）

由于

故

而级数

3． 已知F f x ）（x ）是（的一个原函数，而F （x ）是微分方程的解，试将f （x ）展开成x 的幂级数，并求

【答案】由当

时，

知由

，积分得

得

故

而

故

于是

收敛，故原级数在上一致收敛。 而级数

收敛（收敛于

）故原级数在

收敛，从而原级数在上一致收敛。

满足初始条件

的值。

C 为任意常数。

于是

4． 求

，其中

。

【答案】

5． 画出下列各曲面所围立体的图形：

【答案】（1）如图1所示；（2）如图2所示

.

图1 图2

6． 把积分

化为三次积分，其中积分区域是由曲面

及平

面y=1，z=0所围成的闭区域。

【答案】为一曲顶柱体，其顶为

2

，底位于xOy 面上，其侧面由抛物柱面y=x

及平面y=1所组成。由此可知在xOy 面上的投影区域

因此