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一、计算题

1． 设f （x ）是周期为2π的函数，它在

将f （x ）展开成傅里叶级数。

【答案】f （x ）满足收敛定理的条件，且除了

故

而

于是

2． 试求函数

【答案】

, 因此

时的导数。

外处处连续。

上的表达式为

3． 求抛物线被圆所截下的有限部分的弧长。

得到两曲线的交点为

，

因此所求弧长为

【答案】联立两曲线方程

4． 收音机每台售价为90元，成本为60元。厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购1台，售价就降低1分，但最低价为每台75元。

（l ）将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数; （2）将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数; （3）某一销售商订购了1 000台，厂方可获利润多少?

【答案】设订购x 台，实际售价每台p 元，厂方所获利润P 元. 则按题意，有 当

时，

，但最低价为75，即降

于是，当时

，

因此，有 （1）

（2）

（3）

5． 形状为椭球在探测器的点

处的温度

【答案】作拉格朗日函数

当x>100时，超过100台的订购量为x-100，售价降低价数不超过90-75=15，故

时，

当

（元）。

的空间探测器进入地球大气层，其表面开始受热，l 小时后

，求探测器表面最热的点.

令

由式9-7得若

或

。

。再将

代入约束条件

得若

。于是得到两个可能的极值点：，由式（9-8）（9-9）（9-10）解得

；

于是得到另外三个可能

极值点为

比较T 在上述五个可能极值点处的数值知：热的点为

6． 求直线

在平面

上的投影直线的方程.

。

为最大，故探测器表面最

。

，代入式（9-8），得（9-9）

【答案】作过已知直线的平面束，在该平面束中找出与已知平面垂直的平面，该平面与已知平面的交线即为所求.

设过直线得由得

. 代入平面束方程，得

的平面束方程为

. 因此所求投影直线的方程为

7． 判别下列方程中哪些是全微分方程? 对于全微分方程，求出它的通解。