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一、计算题

1． 下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的? 如果是对的，说明理由; 如果是错的，试给出一个反例。

（l ）如果函数f （x ）在a 连续，那么│f （x ）│也在a 连续; （2）如果函数│f （x ）│在a 连续，那么f （x ）也在a 连续。 【答案】（1）对。因为（2）错。例如

则│f （x ）│在a=0处连续。而f （x ）在a=0处不连续。

2． 甲船以6km/h的速率向东行驶，乙船以8 km/h的速率向南行驶。在中午十二点整，乙船位于甲船之北16 km处。问下午一点整两船相离的速率为多少?

【答案】设从中午十二点整起，经过t 小时，甲船与乙船的距离为

故速率

当t=1时（即下午一点整）两船相离的速率为

3． 设f （x ）在R 上连续，且

（l ）（2）（3）（4）

【答案】（l ）错。例如（2）错。例如（3）对。例如

，同（2）

在R 上处处连续。

在R 上处处连续。

在R 上处处连续。

必有间断点 必有间断点; 未必有间断点 必有间断点.

在R 上有定义，且有间断点，则下列陈述中，哪

，所以│f （x ）│也在a 连续。

些是对的， 哪些是错的? 如果是对的，说明理由; 如果是错的，试给出一个反例。

（4）对。因为，若这与己知条件矛盾。

4． 设积分

在R 上处处连续，则也在R 上处处连续，

其中试求

为连接点。

【答案】令

与

围成的平面区域D ，且围成D 的正向曲线为L ，则

5． 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置.

A （3, 4, 0），B （0，4，3），C （3, 0, 0），D （0，﹣1, 0）

【答案】在坐标面上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有一个为零. 比如xOy 面上的点的坐标为（为（0，

，

）.

，0，0），y 轴上的点的坐标为（0，

，0），z 轴上点的坐标为（0，0，

）.

，

，0），xOz 面上的点的坐标为（

，0，

，yOz 面上的点的坐标）

的直线段，

B 的抛物线段为连接A 、

，

在坐标轴上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有两个为零，比如x 轴上的点的坐标为 （

6． 求曲线

A 点在xOy 面上，B 点在yOz 面上，C 点在x 轴上，D 点在y 轴上.

在与x 轴交点处的曲率圆方程。

得曲线与x 轴的交点为（l , 0）。

则

曲率半径

因此所求的曲率圆方程为

【答案】解方程组

, 故

设曲线在点（l , 0）处的曲率中心为

7． 应用对参数的微分法，计算下列积分：

【答案】（1）设

则

由于

故

于是

（2）设

则

，由于

故

又当α=1时，有

因此

在x=1处连续，从而对任一

在区间（或）上连续。