2017年东北师范大学高等数学(跨学科加试)考研复试核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 设二阶导数且
（1）
；（2）
是由方程。
。
，两边同时微分得
又
，则
故
2． 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解
【答案】（1
）将原方程写成此得离变量，得
代入初始条件：
积分得
两边平方，得
因而特解可表示为
（2）令入初始条
件
则
，原方程化为
得
从而
有
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所确定的函数，其中具有
【答案】（1）由方程
。
（2）由（1）可得，
，两端乘以
得
，
得
故有
即由分
代入初始条件：x=1, y=1，得C=±1，
于是有由于在点x=1处，y=1, 故在x=1的某邻域内y>0,
分离变量即
即
积分得代
又积分得
代入初始条件
（3）因
并由初始条件x=1,
又因x=1时，
故积分得
得，故所求特解为故积分得
又因x=1时，y=0, 故再积分得
（4
）在原方程两端同乘以
入初始条件：
得
代入初始条件：x=0, y=0,
得
（5）在原方程两端同乘以入初始条件
分
得
代入初始条件：（6
）令
则
得
得从而有
得
于是得特解
分离变量，
得即
积分
或写成
由初始条
又分离变量，
得
得
即并由于
，
故取
积分得
代
分离变量后积
得
得
从而有
于是得特
解
即
即
积分得
分离变量后积分
代即
原方程变为
得
件：y=0, p=0, 积
分
由初始条件
：
，即
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3． 已知，其中，求及。
【答案】由
两边同时对X 求导得
得
原方程组两边对y 求导得
，即
得
4． 化下列方程为齐次方程，并求出通解
（1）（2）（3）（4）
【答案】（1）令4Y+2h+4k-6）dy=0.
令
原方程化为
则
，即
且原方程成为（2X-5Y+2h-5k+3）dx-（2x+
解此方程组得h=1, k=1。故在变换x=X+1, y=Y+1下，
（2X-5y ） dX-（2X+4y）dY=0,
即
则原方程成为积分
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，又令，有，即
，
。
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