2018年山西大学数学科学学院复杂系统研究所833高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、选择题
1． 设
其中A 可逆，则=（ ）.
A.
B.
C.
D. 【答案】C 【解析】因为
2． 设向量组
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为
所以向量组
线性无关.
线性无关.
1
所以
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）.
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3． 设
又
与为空间的两组基,
且
①
②
③
则（ ）. A. B. C. D.B = A 【答案】C 【解析】令
由②有
将①代入④得
即故.
4． 设A , B为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使.
C. 存在可逆阵C 使
D. 存在可逆阵P , Q , 使PAQ=B
【答案】D 【解析】其中
则PAQ=B
5． 设
均为n 维列向量，A 是
矩阵，下列选项正确的是（ ）.
A. 若线性相关，则线性相关. B. 若线性相关，则线性无关.
C. 若线性无关
，则线性相关. D. 若线性无关，则
线性无关.
【答案】A 【解析】因为当线性无关时，若秩
则
线性无关，
否则线性相关. 由此可否定C ，D. 又由 有
④
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由上述知因此
线性相关，所以线性相关，故选A.
于是
二、分析计算题
6． 已知
（1）A 的特征多项式（2）A 的伴随矩阵
是6阶方阵A 的最小多项式, 且及其若当标准形. 的若当标准形.
则A 必有特征值是
注意到初等因子为
（2）由（1）可知存在可逆矩阵P , 使于是
由于
的若当标准形依次为
故
的若当标准形为
7． 设
都是n 阶非零矩阵，满足
证明:每个
【答案】由题设，对每个的对角阵，所以只要证明每个
事实上，因
，所以对固定的正整数
试求
【答案】 （1）由A 的最小多项式
由
由6阶行列式因子
故
故A 的若当标准形为
则
从而. , 得
于是A 的特征多项式
于是A 的
, 6阶不变因子
都相似于对角阵均有
. 可见， 即可.
.
均相似于对角线上元素为1或0