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一、选择题

1． 设

其中A 可逆，则=（ ）.

A.

B.

C.

D. 【答案】C

1

【解析】因为

2． 设均为n 维列向量，A 是

A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有

由上述知因此

3． 二次型

A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定

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所以

矩阵，下列选项正确的是（ ）.

线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.

则

线性无关，

线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则

线性无关时，若秩

线性相关. 由此可否定C ，D. 又由

线性相关，所以线性相关，故选A.

于是

是（ ）二次型.

【答案】B 【解析】方法1

方法2设二次型矩阵A , 则

是不定二次型，故选B.

由于因此否定A , C, A中有二阶主子式

从而否定D , 故选B.

4． 下面哪一种变换是线性变换（ ）

A.

B. C.

不一定是线性变换，比如不是惟一的.

. 则

也不是线性变换，比如给

,

【答案】C 【解析】而

5． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8，再将B 的第1列的1倍加到第2列得C ,

记

A. B. C. D. 【答案】B

【解析】由已知，有

于是

则（ ）.

二、分析计算题

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6． 设均为n 维线性空间V 的线性变换, 若

则与有公共的特征值和特征向量. 【答案】设记

则由维数定理, 得

故

共的特征值.

7． 已知个向量

证明: （1）如果等式

（2）如果存在两个等式

①

②

其中

则

③

【答案】（1）若那么其余的

（2）由于成立. 若

都不能等于0, 否则有

由上面

知，

关的假设矛盾，从而得证

全不为0, 则由

则证毕. 否则总有一个k 不等于0, 不失一般设即全不为0.

全不为0. 再看如果得

8． 设

都是n 阶非零矩阵，满足

证明:每个

【答案】由题设，对每个的对角阵，所以只要证明每个

事实上，因依次存在使

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取则

故是的公共的特征向量, 0是公

线性相关，但其中任意

则这些

个都线性无关，

或者全为0, 或者全不为0;

，

，其中这与任意个都线性无

则式

都相似于对角阵均有

. 可见， 即可.

的非零列

.

均相似于对角线上元素为1或0

，所以对固定的正整数