2018年西北农林科技大学理学院314数学(农)之概率论与数理统计考研核心题库
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2018年西北农林科技大学理学院314数学（农）之概率论与数理统计考研核心题库（一） ... 2 2018年西北农林科技大学理学院314数学（农）之概率论与数理统计考研核心题库（二） ... 7 2018年西北农林科技大学理学院314数学（农）之概率论与数理统计考研核心题库（三） . 13 2018年西北农林科技大学理学院314数学（农）之概率论与数理统计考研核心题库（四） . 19 2018年西北农林科技大学理学院314数学（农）之概率论与数理统计考研核心题库（五） . 27
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一、计算题
1． 已知男人中有
是色盲患者，女人中有
是色盲患者，今从男女比例为22:21的人群中
随机地挑选一人，发现恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？
【答案】记A 为事件“任选一人是色盲患者”，记B 为事件“任选一人是男性用贝叶斯公式
2． 设二维随机变量（X , Y ）服从圆心在原点的单位圆内的均匀分布，求极坐标
的联合密度.
【答案】因为（X , Y ）服从圆心在原点的单位圆内的均匀分布，所以（X , Y ）的联合密度函数为
’记
，则
所以
，由此
得
'
和
的联合密度函数为
3． 若一次电话通话时间X （单位:min ）服从参数为0.25的指数分布，试求一次通话的平均时间.
【答案】因为
，其中
. 所以
.
4． 有一批电子产品共50台，产销双方协商同意找出一个检验方案，使得当次品率时拒绝的概率不超过0.05, 而当方案.
【答案】此类检验问题的拒绝域为:
因此，本问题归结为找出n 与c , 使得接受概率
满足如下不等式组
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时，接受的概率不超过0.1, 请你帮助找出适当的检验
.
由于批量N=50不太大，因此应该用超几何分布计算接收概率L （p ）:
通过编程搜索可以找到，当n=11, c=1时，
，可以满足要求，于是检验方案为（n , c ）它表示在抽取11件产品检查其中的不合格品件数>1，则拒受该批产品，否则接受.
5． 设随机变量序列
令
独立同分布，其密度函数为
试证:
时，有
【答案】因为的分布函数为所以当对任意的即
时，有
. 当结论得证.
6． 一条自动化生产线上产品的一级品率为0.8, 现检查5件，求至少有2件一级品的概率.
【答案】记X 为检查5件产品中的一级品数，则
，所求概率为
7． 把10本书任意地放在书架上，求其中指定的四本书放在一起的概率.
【答案】10本书任意地放在书架上所有可能的放法数为将这指定的四本书作全排列，共有种可能放法. 故总共有求概率为
8． 试验证:以下给出的两个不同的联合密度函数，它们有相同的边际密度函数
.
【答案】因为当0 又因为当0 第 3 页，共 32 页 ，这是分母. 若把指定的四本书看种可能放法，这是分子，于是所 作一本“厚”书，则与其他的6本书一起随意放，有种可能放法，这是第一步，第二步再考虑 所以 有相同的边际密度函数. 二、证明题 9． 设随机变量 【答案】 10．设二维随机变量 服从二元正态分布，其均值向量为零向量，协方差阵为 是来自该总体的样本， 证明:二维统计量 【答案】该二元正态分布的密度函数为 此处， 故 从而 注意到 上式可化解为 于是样本的联合密度函数为 第 4 页，共 32 页 ，试证明: 是该二元正态分布族的充分统计量.