2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院601高等数学之高等数学考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 求螺旋线
【答案】
点（a ，0, 0）所对应的参数于是切线方程为
即
法平面方程为
即
2． 讨论方程
【答案】取函数令当当从而即当实根。
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在点
处的切线及法平面方程。
，故曲线在给定点的切向量
（其中a>0）有几个实根?
,
, 因此函数, 因此函数
, 在在
内单调增加;
内单调减少。 , 故当
, 得驻点时, 时, 为最大值, 又时, 曲线
, 即
与x 轴仅有一个交点, 这时, 原方程有惟一实根。 时, 曲线
与x 轴有两个交点, 这时, 原方程有两个
当,
即时,
曲线与z 轴没有交点, 这时, 原方程没有实
根。
3． 一球面过原点及A （4，0，0），B （1，3，0）和C （0，0，﹣4）三点，求球面的方程及球心的坐标和半径
【答案】设所求球面的方程为标代入上式，得
a ²＋b ²＋c ²=R² （8-3） （a －4）²＋b ²＋c ²=R² （8-4） （a －1）²＋（b －3）²＋c ²=R² （8-5） a ²＋b ²＋（4＋c ）²=R² （8-6）
联立式（8-3）（8-4）得a=2，联立式（8-3）（8-6）得c=﹣2，将a=2代入（8-4）（8-5）并联立得b=1，故R=3.因此所求球面方程为（x －2） ²＋（y －1） ²＋（z ＋2） ²=9，其中球心坐标，半径为3. 为（2，1，﹣2）
4． 求下列函数在给定点处的导数：
（1）（2）（3）【答案】（1）
，求，求
和。
；
将己知点的坐
，求f ’（0）和f ’（2）。
（2）
（3）
5． 一底为8cm 、高为6cm 的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3cm ，试求它每面所受的压力。
0.6]，【答案】如图设立坐标系，取三角形顶点为原点，取积分变量为2，则z 的变化范围为[0，，因此OB 的方程为易知B 的坐标为（0.06, 0.04）
，故对应小区间[x，x+dr]的面积近似值为
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。
图
记γ为水的密度，则在x 处的水压强为
6． 化二重积分
，其中积分区域D 是: 为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分）（l ）由直线y=x及抛物线（2）由x 轴及半圆周（3）由直线（4）环形闭区域
【答案】（1）直线y=x及抛物线
及双曲线
。
的交点为（0，0）和（4，4）（图1）. 于是
或
所围成的闭区域;
所围成的闭区域;
所围成的闭区域;
，故压力为
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