2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院604高等数学之高等数学考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 求由下列各曲线所围成的图形的面积:
（1）（2）
x
与（两部分都要计算）;
与直线y=x及x=2；
-x
（3）y=e、y=e与直线x=1；
（4）y=lnx，y 轴与直线y=lna，y=lnb（b>a>0） 【答案】（1）如图1，先计算图形D 1的囱积，容易求得的窄条面积近似于高为
与
的交点为（-2，2）
和（2，2）. 取x 为积分变量，则z 的变化范围为[-2，2]，相应于[-2，2]上的任一小区间[x，x+dx]
、底为dx 的窄矩形的面积，因此有
图形D 2的囱积为
（2）如图2，取x 为积分变量，则32的变化范围为[l，2]，相应于[l，2]上的任一小区间[x，x+dx]的窄条面积近似于高为
，底为dx 的窄矩形的面积，因此有
图1 图2
（3）如图3，取2为积分变量，则x 的变化范围为[0，l]，相应于[0，l]上的任一小区间[x，x+dx]的窄条面积近似于高为e x -e -x 、底为dx 的窄矩形的面积，因此有
（4）如图4，取y 为积分变量，则y 的变化范围为[lna，lnb]，相应于[lna，lInb]上的任一小区间[y，y+ dy]的窄条面积近似于高为dy 、宽为e 的窄矩形的面积，因此有
y
图3 图4
2． 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小:
，其中积分区域D 是由x 轴、y 轴与直线x+y=1
所围成；
，其中积分区域D 是由圆周
围成；
，，1, 1），其中D 是三角形闭区域，三顶点分别为（1, 0）（
；
（2, 0）
，其中
【答案】（1）在积分区域D 上，
，故有
根据二重积分的性质4，可得
（2）由于积分区域D 位于半平
面
。从而
（3）由于积分区域D 位于条形区域
，从而有
。因此
（4）由于积分区域D 位于半平面而
，因此
所
。
内，故在D 上
有
。
内，故知区域D
上的点满足
内，故在D 上有，从
3． 计算
去的方向为逆时针方向。
【答案】记球面
的外侧被所围的部分为
由斯托克斯公式得
，于是
的单位法向量为
，其中为曲线
，从Ox 轴正向看
易知于是
圆心，为半径的圆域，其圆心横坐标为
且面积
关于zOx 面对称且xy+yz是关于y 的奇函数，故有
。
为
，其中D xy 是zOy 面上以，于是
4． 判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集? 并分别指出它们的聚点所成的点集（称为导集）和边界.
（1） （2） （3） （4）
【答案】（1）集合是开集，无界集；导集为
，边界为
.
（3）集合是开集，区域，无界集；导集为
（4）集合是闭集，有界集；导集为集合本身，边界为
; ;
;
. . ，
边界为
，边界为
.
（2）集合既非开集，又非闭集，是有界集；导集为
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