2017年中国科学技术大学高等数学复试实战预测五套卷
● 摘要
一、解答题
1． 试求
的经过点M （0, 1）且在此点与直线
相切的积分曲线。
【答案】由于直线
在（0, 1）处的切线斜率为，依题设知，
所求积分曲线是初值问题的解。
由
再积分，
得
2． 已知函数
满足
，且
，求曲线
所成
积分
得
，代入x=0, y=1,
得
代入x=0
,
得
，即
有
于是所求积分曲线的方程为
的图形绕直线y=-1旋转所成的旋转体的体积。
【答案】由于函数连续函数；又
故知令
，可得
，得到
；且当y=-1时，x 1=1，x 2=2；则曲线
3． 如果一公司经营某种产品的边际利润函数为
【答案】 4． 设
一的极大值？参数a ，b 满足什么条件时，
【答案】由极值的必要条件，得方程组
，试问参数a ，b 满足什么条件时，有唯一的极小值？
有唯
，那么
表示什么？
满足
，
所
，故
，其中C （x ）为待定的
成的图形绕直线y=-1旋转所成的旋转体的体积为
表示从经营第1000个产品起一直到第2000个产品的利润总量。
即。
当时，有唯一驻点
。
记。
当时，即当
时，
由极值。
当时，即当时，其有极小值； 当时，即当时，其有极大值。
综上所述，得
当且时，其有唯一极小值； 当且
时，其有唯一极大值。
二、计算题
5． 求抛物面壳
的质量。此壳的面密度为
。
【答案
】
在
xOy
面上的。故
。因此
6． 计算下列积分：
【答案】（1）因为
故
原式
（交换积分次序）
投影区
域
由于
因此
原式
（2）因为
，故
（交换积分次序）
由于
（分部积分）
因此
原式
7． 对图所示的函数f （x ），求下列极限，如极限不存在，说明理由.
（l ）（2）（3）（2）（3）
不存在，因为
。
【答案】（l ）