2017年西安电子科技大学9041基础综合知识一(材料力学、线性代数)之工程数学—线性代数考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 验证明：与向量线性空间.
【答案】事实上
与
均是
中与向量
不平行的向量，但它们的和
平
不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法和数乘运算不构成
行于即该集合对于向量的加法不封闭，故不构成向量空间.
2． 设矩阵程Ax=b的通解.
其中线性无关，，向量
线性无关，故
，求方
【答案】显然，这是一个四元方程. 先决定系数矩阵A 的秩. 因又能由
线性表示
线性相关
线性相关（部分相关则整体相关）
综合上面两个不等式，有R （A ）=3, 从而原方程的基础解系所含向量个数为4-3=1.进一步，
是方程Ax=0的解
是它的基础解系，
又
是方程Ax=b的解.
于是由非齐次线性方程解的结构，原方程的通解为
3． 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, -3, 求
【答案】由特征值性质得A 的特征值时，
是B 的特征值. 分别取
知A 可逆，并且
因为当
为
知-1，5, -5是B 的特征值. 注意到B 为3
阶方阵，
故
4． 设向量组
的秩为2, 求a , b.
作初等行变换，以求其行阶梯形
.
【答案】对含参数a 和b 的矩阵
于是
5． 试用施密特法把下列向量组正交化：
（1）
（2）
【答案】⑴
（2）
6． 证明R （A ）=1的充分必要条件是存在非零列向量a 和非零行向量
【答案】先证充分性.
设按矩阵秩的性质，由于是R （A ）=1.
再证必要性. 设
并+妨设
因R （A ）=1.知A 的所有二阶子式均为零. 故对A 的任一元
即
，上式当i=k或j=l时也显然成立. 于是
有
，使
，知
并不妨设
另一方面，A 的（1，1）元
有
令
则因
7． 已知向量组A
:
【答案】记矩阵因A 组与B 组等价
故求矩阵（B ，A ）的行阶梯形以计算3个矩阵的秩
.
即知R （B ）=R（B ，A ）=2, 且，因此，向量组A 与B 等价.
故分别是非零列向量和非零行向量，且有
B ：
证明A 组与B 组等价，
又
与不成比例，故R （A ）=2.