2017年中国农业大学高等数学复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、解答题
1． 设有一质量为m 的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致、大小与时间成正 比（比例系数为k l ）的力作用于它，此外还受一与速度成正比（比例系数为k 2）的阻力作用. 求质点运动的速 度与时间的函数关系.
【答案】依题意，有将方程改写成
，则
由t=0, v=0得
2． 设函数f （x ）在区间[a, b]上连续，且f （x ）≥0，那么
【答案】
在几何上表示什么？
，故速度与时间的关系为
即
表示xOy 面上，由曲线y=f（x ）, x=a, x=b以及x 轴所围成的图形绕x
轴旋转一周而得到的旋转体的体积。
3． 设函数f （u ）具有二阶连续导数，则
若
【答案】设
则
满足
求f （u ）的表达式。
由条件
非齐次方程，对应齐次方程的通解为：
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可知，这是一个二阶常用系数线性
其中
对应非齐次方程特解可求得为故非齐次方程的通解为将初始条件故
4． 若函数
恒满足关系式
的表达式为
为任意常数。
其中
代入，可得
就称为k 次齐次函数，
为为任意常数。
验证k 次齐次函数满足关系式
其中f 存在一阶连续偏导数。 【答案】为简化计算，可令两边同时对t 求导，得
则上式对一切实数t 都成立。令
，得
。
，则
，
二、计算题
5． 求由曲面
【答案】由区域为
（图）
所求立体的体积等于两个曲顶柱体体积的差
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及所围成的立体的体积。 消去Z ，得
，故所求立体在
面上的投影
图
6． 求球体r ≤a 位于锥面
和
之间的部分的体积。
为立体所占的空间区域，有
7． 求由摆线x=a（t-sint ），y=a（1-cost ）的一拱（0≤t ≤2π）与横轴所围成的图形的面积.
，则所求面【答案】以x 为积分变量，则x 的变化范围为[0，2πa]，设摆线上的点为（x ，y ）积为
，再根据参数方程换元，令x=a（t-sint ），则y=a（1-cost ），因此有
8． 由y=8, x=2, y=0所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得旋转体体积。
【答案】（1）图形绕x 轴旋转，该体积为Y 轴所得的立体）减去由曲线
；
（2）图形绕y 轴旋转，则该立体可看作圆柱体（即由x=2，y=8，x=0，y=0所围成的图形绕
，y=8，x=0所围成的图形绕y 轴所得的立体，因此体积为
【答案】用球面坐标计算，记
三、证明题
9． 已知a=
【答案】因为
，b=
，c=
，试利用行列式的性质证明（a ×
b ） ·c=（b ×c ） ·a=（c ×a ） ·b
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