2017年合肥工业大学数学学院716数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设f 为
上的增函数，其值域为
都存在.
设
同理有假
设时
，
这与f 的值域为
或
者
证明f 在
上连续. 设
. 因为f 为因为
当
因为
为
当
矛盾. 故f 在则不存
在
时
使
得时
【答案】用反证法. 假如f 在上的增函数，所
以所
以
于是或
者
上不连续，则f 有间断点.
由函数极限的保不等式性得
这是因为：
当
而
上连续.
2． 利用柯西收敛准则证明下列数列收敛：
(1
) (2
) 【答案】
由于(不妨设
其中
)
的间断点，
且
而
即数列
(2)
对
所以存在正整
数
收敛.
)
取
则当
时有
所以数列
收敛.
由于(不妨设
当
时
有
于是
当
时
有
二、解答题
3． 设S
是椭圆面
为点
的上半部分，
点到平面的距离，求
为S 在点P 的切平面
，
【答案】设(X ，Y ，Z ) 为上任意一点，则的方程为
由此易知
由S 的方程
有，
于是
其中
是S 在
平面上的投影.
作极坐标变换容易求出：
4． 方程
【答案】令.
能否在原点的某邻域内确定隐函数
则有
在原点的某邻域内连续；
均在上述邻域内连续；
故由隐函数存在惟一性定理知，
方程
5． 求下列函数在指定点的高阶导数：
【答案】⑴
在原点的某邻域内可确定隐函数胃
6． 求下列函数的n 阶导数：
【答案】
由莱布尼茨公式得
又因当
时
所以，
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