2017年华北电力大学(北京)数理系692数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明
:
【答案】
故
2． 若f (x ，y ) 在有界闭区域D 上连续，且在D 内任一子区
域
【答案】
假设存在
使得对一切故必在D 上
使得
，
有
不妨设
则
由连续函数的保号性知：
存在
，
与已知
矛盾. 上
有
二、解答题
3． 在区间[0, 1]上，函数性.
【答案】f 于[0，1]上是（1）显然知（2）f 的间断点为
（3）对于[0, 1]上的任意分割
记对应的f 的振幅为
则
当综上
充分小时， 在[0, 1]上
可积.
可积的. 证明如下：
定义为
试讨论
在[0, 1]上的
可积
4． 设S 为非空数集. 试对下列概念给出定义：
（1）S 无上界； （2）S 无界.
【答案】（1）设S 为非空数集，若对任意的正数M ，总存在上界.
（2）设S 为非空数集，若对任意正数M , 总存在
5． 讨论下列函数列在指定区间上的一致收敛性：
(1
)
(2
) 【答案】(1) 因为
所以
②当
时，
当x=l时，
在[0, 1]上连续，而极限函数f (x ) 在[0, 1]上不连续，所以{f(x ) }在[0, 1]上不一致收敛.
③因为
所以(2
) 而
所以
在(0, 1) 上不一致收敛.
故
使得
则称数集S 无界. 使得
则称数集S 无
6． 用区间表示下列不等式的解：
（1）（3）⑷
（2）；
（a ，b , c 为常数，且a 【答案】（1）原不等式可化为显然，当 时，原不等式总成立. 当x>0时， 原不等式可化为综上，原不等式的解为. （2）显然， 当一个数是组 即 解得 即 用区间表示为 的解时，它的相反数也是不等式的解. 于是先求解不等式 于是原不等式的解集为 解得 （3）由于a 个部分 当x 在其中任一部分中变化时， 都不变号，由此可得原不等式的解集为 （4）由单位圆中的正弦线可得 7． 设 证明 在D 上的二重积分不存在而两个累次积分存在. 恒为零. 若y 为有理数，则函数仅有有限个异于0的值， 因此 【答案】因为在正方形的任何部分内，函数f 的振幅等于1. 所以二重积分不存在. 对固定的y , 若y 为无理数， 则数 所以累次积分存在且 同理，累次积分 8． 设函数f (x ) 和g (x ) 在[a, b]上可积，则 【答案】 因 则 的解集是 k 为整数.