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一、证明题

1． 设故只需考虑

故若当

证明数列

与级数_

收敛，必有时，有

与

与级数

间的关系. 因为

收敛；若，同时发散；

当

故若

收敛必有

收敛，即有

收敛；若，

. 发散，则有

发散，

发散，必有

时

发散.

同时收敛或同时发散.

的敛散性相同，

【答案】注意到数列

的敛散性与正项级数

进而发散. 所以原数列与原级数同时收敛或同时发散.

2． 证明：对任何有

(1

) (2

)

并说明等号何时成立. 【答案】(1) 由三角不等式当且仅当(2

)

当且仅当x=2时，等号成立.

3． 证明：

【答案】

于是，对于

存在M>0, 使得当

时，有时.

. 在[-M, M]上，由连续函数于是，对于一切

故

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可知，

时，等号成立.

' 为有界函数.

的有界性定理知，存在S>0，使得当

为有界函数.

4．

设级数满足：

加括号后级数符号相同，证明

，亦收敛. 收敛，所以其中则

收敛，

且在同一括号中的

【答案】因为所以

设

故

又因为括号内符号相同，

存在. 对任意的n ，存在k ，使

稩

又当存在，即

时必有

从而

收敛，实际上两级数收敛到同一个数.

二、解答题

5． 取y 为因变量，解方程

【答案】由上题启发，z=z(x ，y ) 中把x ，y 看成自变量，对x 求偏导数，得

解出

再对x 求偏导，得

将

代入上式，有

利用条件得

出

6． 求下列函数所表示曲线的渐近线：

【答案】（1）由

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和y 取为因变量以及隐含条

件所

以由此解

出

得k=0, 再由

得b=0.所以此曲线有水平渐近线y=0.又因为

所以此曲线有垂直渐近线（2）由

得k=0, 再由

得得（3）因为

所以k=3, 再由

得b=6.因此，该曲线的斜渐近线方程为所以

所以，该曲线还有两条垂直渐近线x=0和x=2

7． 设f (u ) 是可微函数

【答案】故

8． 试作一函数

使当

时，

试求

又因为

另外，由

于是，此曲线有两条渐近线

(1) 两个累次极限存在而重极限不存在； (2) 两个累次极限不存在而重极限存在； (3) 重极限与累次极限都不存在；

(4) 重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在. 【答案】(1) 函数

满足

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