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一、计算题

1． 某城市中共发行3种报纸A ，B ，C ，在这城市的居民中有45%订阅A 报、35%订阅B 报、30%订阅C 报，10%同时订阅A 报B 报、8%同时订阅A 报C 报、5%同时订阅B 报C 报、3%同时订阅A ，B ，C 报，求以下事件的概率：

（1）只订阅A 报的； （2）只订阅一种报纸的； （3）至少订阅一种报纸的； （4）不订阅任何一种报纸的.

【答案】仍用A ，B ，C 分别表示订阅A ，B ，C 报，则有P （A ）=0.45，P （B ）=0.35，P （C ）=0.30，P （AB ）=0.10，P （AC ）=0.08，P （BC ）=0.05，P （ABC ）=0.03.

（1）P （只订阅A 报）=

其中

所以

P （只订阅一种报纸）=0.30+0.23+0.20=0.73.

（3）P （至少订阅一种报纸）

（4）P （不订阅任何一种报纸）=

2． 一个保险公司有10000个汽车投保人, 每个投保人平均索赔280元, 标准差为800元. 求总索赔额超过2700000元的概率.

【答案】记

为第i 个投保人的索赔额,

. 则

. 由林

德伯格-莱维中心极限定理, 所求概率为

3． 如果一个矩形的宽度W 与长度1的比

这样的矩形称为黄金矩形（看

（2）因为P （只订阅一种报纸）=

上去很舒服）. 下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形宽度与长度的比值

.

设这一工厂生产的矩形的宽度与长度的比值总体服从正态分布，其均值为u ，试检验假设

（取）

【答案】这是关于正态分布均值的双侧检验问题，此处总体方差未知，

故拒绝域为

若取显著性水

平

s=0.0918，由此，检验统计量

由于t 值落入拒绝域内，因此在显著性水平

4． 设

下拒绝原假设. 查表

知

经计

算

为独立同分布的随机变量序列, 其共同的分布函数为

试问:辛钦大数定律对此随机变量序列是否适用？

【答案】此为柯西分布的分布函数, 而柯西分布的数学期望不存在, 因为辛钦大数定律要求数学期望存在, 所以辛钦大数定律对此随机变量序列不适用. 5． 设

【答案】由于

是总体

的一个样本, 求

的分布.

为独立同分布的N （0, 1）随机变量, 故

且两者独立, 故

6． 已知某种材料的抗压强度下：

（1）求平均抗压强度的置信水平为95%的置信区间； （2）若已知

求平均抗压强度的置信水平为95%的置信区间；

s=35.2176在未知时，的置信水平为95%的置信区间

查表得，

因而的置信水平为95%的置信区间为

，现随机地抽取10个试件进行抗压试验，测得数据如

（3）求的置信水平为95%的置信区间. 【答案】（1）经计算得，为

（2）在查表得，（3）此处，

因而

已知时，的置信水平为95%的置信区间为

，因而的置信水平为95%的置信区间为

取

，查表得

，

由此可以得到的置信水平为95%的置信区间为[24.2239，64.1378].

7． 设随机变量X 的概率密度函数为

对X 独立重复观察4次，Y 表示观察值大于π/3的次数，求【答案】因为事件“观察值大于；π/3”可用而Y 的分布列为

所以

8． 某工程队完成某项工程的时间X （单位：月）是一个随机变量，它的分布列为

表

1

（1）试求该工程队完成此项工程的平均月数；

（2）设该工程队所获利润为Y=50（13-X ），单位为万元. 试求工程队的平均利润； （3）若该工程队调整安排，完成该项工程的时间&（单位：月）的分布为

表

2

则其平均利润可增加多少？ 【答案】（1）均需11个月.

（2）

的置信水平为95%的置信区间为

的数学期望.

表示，从而

该工程队完成此项工程平该工程队所获平均利润