2017年贵州民族大学理学院601数学分析A考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设
在点
存在，在点
于是有
令
时有
故f (x ，y )
在点
2． 定义双曲函数如下：
双曲正弦函数
双曲余切函数
证明：
【答案】
3． 证明下列结论：
(1) 函数(2) 符号函数【答案】(1) 假设
不存在原函数；
不存在原函数. 则
双曲余弦函数
双曲正切函数
从而可微.
因
为
在
点即
连续，所以
当
在点
连续，证明f (x ，y ) 在点
其中
可微.
【答案】因为
存在，由一元函数的可微性知
于是
当
即
时
有
当
时
有
由
于
连续，所
以
从而
这与(2) 假设
矛盾.
由拉格朗日定理得
这说明
在点
不可导，与
相矛盾.
上连续，则存在点
...
使得
4． 证明：若函数，在光滑曲线L
:
. 其中
为的弧长.
存在，且
又因f 在L 上连续，L 为光滑曲线，所以值定理知：
使
令 5． 设
【答案】所以
显然证明：当
所以时，
可以用来作为曲线坐标，解出
作为
在
上连续，由积分中
【答案】由于f 在光滑曲线L 上连续，从而曲线积为
的函数；画出平面上所对应的坐标曲线；计算并验证它们互为倒数.
故
当
=
时
，从而
都连续
且
可以用来作为曲线坐标
.
由反函数组定理知，存在函数
组
分别对应
平面上坐标曲线
如图1、2所示
图1 图2
因
而前面已算得
即
6． 证明：若级数
互为倒数. 收敛
，又因为
即
绝对收敛，则级数
收敛，则其部分和数
列
收敛，从而
绝对收敛，由阿贝尔变换知
又由即
所以即
收敛.
也收敛.
有界. 设存在正数M , 使
得
【答案】因为级
数
收敛可知收敛. 设
则
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