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一、证明题

1． 设

由

于

从而可知

2． 设在

【答案】由即在

在

上连续，且

证明

当

时，有

内有界，又由上有界. 设

将

在

上连续知，分拆成两项

对第二项使用第一中值定理，存在由于故证得

3． 设级数

证明：当下极限发散.

，

即

由比较判别法知级数

收

时，级数

收敛；当上极限

时，

时，

所以

使

从而

在

上有界.

综合上面可得

从而

即

在

上可微，且

则

，因

此

为

证明：在

上的单调递减函数，所

以

【答案】令

知，对于数1，存在

其中第一项当时必趋于零. 事实上

【答案】(1) 由于当n 充分大时，敛.

(2)

由

当n 足够大时，

即由

比较判别法知，级数

4． 设

且

试证

因此

又因

为

于是有

在在

发散.

上连续，又有函数列

在当

上也一致收敛.

在

且

上也一致连续.

时，有

有

在

上一致收敛，

【答案】由一致连续性定理可知

上一致收敛，由柯西收敛准

则

由柯西收敛准则，得

5． 证明对黎曼函数

有

在

上一致收敛.

(当

或1时，考虑单侧极限)

【答案】[0, 1]上的黎曼函数的定义为

对于任意的

满足不等式

的正整数q 只有有限个. 设

使得

则

当

(

若

故

6． 用有限覆盖定理证明连续函数的一致连续性定理。

【答案】一致连续性定理：若函数f 在闭区间上连续，所以任绐.

取

. 任意

存在则H 是

上连续，则在

有

不妨设

因此

为既约真分数，则

取

若

，使得则

当

因而P 也只有有限个. 于是在(0, 1)

内只有有限多个既约真分数

内不含这有限个既约真分数. 则

当) 时，有

上一致连续. 因为在

对任意

的无限开覆盖. 由有限覆盖定理，从中可以选出有限个

开区间来覆盖不妨设选出的这有限个开区间为

取

时，由于

对任意

即当

由一致连续定义，

在 7． 设

【答案】先用数学归纳法可证：

再用数学归纳法证明:

显然

归纳假设

则

从而②式成立. 由①，②式知

单调递増有上界，注意到

1<1.

极限存在，可设

证明：

收敛，并求其极限.

上一致连续。

二、解答题

8． 设

(1) 求f (x ) 的傅里叶级数； (2) 级数是否收敛？是否收敛f (x ) ? (3) 级数在【答案】⑴

内是否一致收敛？

上

(2) f (x ) 满足收敛定理条件，所以f (x ) 的傅里叶级数在数轴上处处收敛. 在

(3) 因为f (x ) 的傅里叶级数的和函数在

9． 证明：

含参量反常积分一致收敛.

【答案】(1) 令

有

根据定义，

取

有

内不连续，所以级数在

在

上一致收敛(其中

内不一致收敛. ) ，在

内不