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一、证明题

1． 设正项级数

【答案】因为

收敛，证明级数

也收敛. 义由已知碍

及

收敛，所以

收敛，进而由比较原则得收敛.

2． 设在区间Ⅰ上连续，并且在Ⅰ上仅有惟一的极值点则必是则存在一点

使

取

在Ⅰ上的最大(小) 值点。

证明：若是的极大(小) 值点，

在I 上的最大值点，

在

【答案】用反证法，只对是f 的极大值点的情形进行证明. 假设不是

使得

(

不妨设则当

上存在最小值m 。

因为

而是

时，

) 。由连续函数的最大最小值定理知

，

的一个极大值点，所以存在

即是

的一个极小值

点，这与在I 上仅有惟一极值点矛盾. 故原命题成立。

3． 证明级数

【答案】因为

按对角线相乘可得

*

所以两级数的乘积为

4． 证明公

式

【答案】因

则由第一、二型曲面积分的关系及高斯公式可得

而

其中S 是包围V 的曲面，n 为S 的外法线方

向

与

绝对收敛，且它们的乘积等于

故级数

.

绝对收敛，同理

也绝对收敛，

因此公式成立。

5． 证明：函数

【答案】因为

所以

6． 设f (x ，y ) 在区域

其中

【答案】任

取

时，有

又由，f 对y 满足利普希茨条件，对上述

现取

则当

取时，

所以

7． 设

和

在点

处连续，由点

的任意性知对一切

证明：若级数【答案】由题意

收敛，则级数

时，

也收敛；若

从而

又因为改变有限项不改变的敛散性，所以由比较原则，若级数若

发散，则

也发散.

收敛，则级数

也收敛；

发散，则

也发散 在G 内处处连续. 有

. 则当

时，有

上对x 连续，对y 满足利普希茨条件：

为常数，试证明f 在G 上处处连续.

对固定

的

连续，于是对任

给

存

在

为常数) 满足拉普拉斯方程：

为正项级数，且存在正数

二、解答题

8． 求下列函数的傅里叶级数展开式：

【答案】(1) f (x ) 是以为周期的连续奇函数，故

由收敛定理

(2) f (x ) 是以2π为周期的连续偶函数，故

由收敛定理

9． 计算积分

【答案】内层积分积不出来，不妨换一求积次序. 为此由所给积分限画出积分区域D 的图形(见图)