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一、证明题

1． 设随机变量

相互独立, 且

试证:

【答案】而事件

从而该事件的概率为

2． 设总体

【答案】令

则

对上式求导易知，当

3． 设

，试证

：

时上式达到最小，最小值为

它小于的均方误差

是样本，θ的矩估计和最大似然估计都是，它也是θ的相合

的联合密度为

估计和无偏估计，试证明在均方误差准则下存在优于的估计.

【答案】因为X 的密度函数为

又因为Y=In X 的可能取值范围为

单调增函数，其反函数为

且

是区间

上的严格

所以Y 的密度函数为

这正是

的密度函数.

4． 令X （n ，p ）表本服从二项分布b （n ，p ）的随机变量，试证明

：

【答案】

5． 设为一事件域，

若

试证： （1）（2）有限并（3）有限交（4）可列交（5）差运算【答案】（1）因为（2）构造一个事件序列

由此得（3）因为（4）因为（5）因为 6． 设

是总体

的简单随机样本，

记

（I ）证明T 是（II ）当【答案】（I ）

的无偏估计量； 时，求DT 。

故T 是

的无偏估计量。（II ）当

为一事件域，所以

其中

所以所以所以

由

由

由（3）（有限交）得

得得

故其对立事件

时，

7． 若P （A ）>0，P （B ）>0，如果A ，B 相互独立，试证：A ，B 相容.

【答案】因为P （AB ）=P（A ）P （B ）>0，所以 8． 设

是来自泊松分布

的样本, 证明

是充分统计量.

有

即A ，B 相容.

【答案】由泊松分布性质知, 在给定T=t后, 对任意的

该条件分布与无关, 因而

是充分统计量.

二、计算题

9． 设

与

独立同分布, 其共同分布为

与

然后计算

与

的相关系数.

试求

的相关系数.

【答案】先计算

的期望、方差与协方差

.