2017年中央财经大学统计与数学学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 甲掷硬币n+2次，乙掷n 次，求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率.
【答案】记A={甲掷出的正面数>乙掷出的正面数}， B={甲掷出的反面数>乙掷出的反面数}. ，又因为由对称性知：P （A ）=P（B ）由此得注意到
且
AB={甲的正面数>乙的正面数，甲的反面数>乙的反面数} ={甲的正面数-乙的正面数=1，甲的反面数-乙的反面数=1] ={甲的正面数-乙的正面数=1}. 所以有
将此结果及P （A ）=P（B ）代入（1）得
，均有
注：当乙掷n 次硬币时，无论是甲掷n+1次（上题）还是n+2次（本题）中得
所以
2． 9名学生到英语培训班学习，培训前后各进行了一次水平测验，成绩为：
表
<而上一题中
因此对上一题我们可以由以下更简便的方法去计算：
即即
所以
且由对称性，本题和上一题都有P （A ）=P（B ）. 而本题与上一题的不同点在于：本题
当甲掷n+1次硬币，乙掷n 次硬币时，由对称性知P （A ）=P（B ）. 且由
（1）假设测验成绩服从正态分布，问学生的培训效果是否显著？ （2）不假定总体分布，采用符号检验方法检验学生的培训效果是否显著.
（3）采用符号秩和检验方法检验学生的培训效果是否显著. 三种检验方法结论相同吗？ 【答案】（1）这是成对数据的检验问题，在假定正态分布下，可通过对检验进行. 一对假设为
计量值为
由于
于是检验的P 值为
做单样本t 故可算出检验统
p 值大于0.05，在显著性水平0.05下不能认为学生的培训效果显著. （2）由于
正数的个数为2，从而检验的p 值为
P 值大于0.05，在显著性水平0.05下也不能认为学生的培训效果显著. （3）由于两个正的差值的秩分别为4.5和6，故符号秩和检验统计量为边假设检验，检验拒绝域为
在给定
下，查表13可知
测值没有落入拒绝域，故也不能认为学生的培训效果显著，三者结果一致.
3． 设二维随机变量（X , Y ）服从圆心在原点的单位圆内的均匀分布, 求极坐标
的联合密度.
【答案】因为（X , Y ）服从圆心在原点的单位圆内的均匀分布, 所以（X , Y ）的联合密度函数为
则
这是一个单
观
所以
由此得
和
的联合密度函数为
4． 设随机变量X 的密度函数为
如果E （X ）=2/3，求a 和b. 【答案】由
得
又由
得
，解得a=l/3，b=2. 联立（1）（2）
5． 在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，即交点在直径上一个区间内的可能性与这区间的长度成比例，求任意画弦的长度大于R 的概率.
【答案】由题设知这个概率可由几何方法确定，记弦的中点与圆心的距离为X ，则样本空间
为
其长度为
由圆的性质知事件A 为“弦的长度大于R”
可表示为
于是所求概率为
，其长度为（如图1）
图1
6． 设随机变量X 服从正态分布N （10，9），试求
【答案】一般正态分布
所以
7． 将一枚硬币重复掷n 次, 以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 试求X 和Y 的协方差及相关系数.
【答案】因为
这表明:X 与Y 间是完全负相关. 这个结论早就蕴含在线性关系式X+Y=n之中.
8． 抽查克矽平治疗矽肺患者10名，得到他们治疗前后的血红蛋白量之差（单位：g%）如下：
和
间满足关系式
：
的p
分位数与标准正态分布的p 分位数
且所以