2017年中国农业大学动物科技学院701数学(农)之概率论与数理统计考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设X 为仅取正整数的随机变量，若其方差存在，证明：
【答案】由于其中
代回原式即得证.
2． 利用特征函数方法证明如下的泊松定理:设有一列二项分布则
【答案】二项分布因为而
的特征函数为, 所以当
时,
则
正是泊松分布的特征函数, 故得证.
中抽取容量为
，的两独立样本其样本方差分别为
3 设分别自总体．
试证，对于任意常数a , b （a+b=l），达到最小.
【答案】由已知条件有
且
独立. 于是
故
这证明了又
是的无偏估计.
从而
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存在，所以级数绝对收敛，从而有
,
其中
都是的无偏估计，并确定常数a , b 使Var （Z ）
因而当时，V ar （Z ）达到最小，此时
该无偏估计为
这个结果表明，对来自方差相等（不论均值是否相等）的两个正态总体的容量为本，上述是的线性无偏估计类
4． 设为一独立同分布的随机变量序列, 已知时,
中方差最小的.
试证明:当n 充分大
的样
近似服从正态分布, 并指出此正态分布的参数.
【答案】
因为
为独立同分布的随机变量序列,
所以
也是独立同分布的随机变量序列.
根据林德伯格-莱维中心极限定理知, 近似服从正态分布, 其参数为
5． 设A ，B ，C 为三个事件，且P （A ）=a，P （B ）=2a，P （C ）=3a，P （AB ）=P（AC ）=P（BC ）=b.证明
：
【答案】由又因为所以得
6． 设随机变量
进一步由独立同分布, 且
试用特征函数的方法证明:
【答案】因
为
, 这正是伽玛分布
7． 设总体的概率函数p （x ; θ）的费希尔信息量存在，若二阶导数证明费希尔信息量
【答案】记
则
所以
另一方面，
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得
, 所以由
诸的相互独立性
得特征函数
为
的特征函数, 由唯一性定理知
对一切的存在，
这就证明了
8． 设A ，B ，C 三事件相互独立，试证A —B 与C 独立.
【答案】因为
所以A-B 与C 独立.
二、计算题
9． 甲、乙两人独立地各进行两次射击, 假设甲的命中率为0.2, 乙的命中率为0.5, 以X 和Y 分别表示甲和乙的命中次数, 试求
【答案】因为当
时, 有
所以（X , Y ）的联合分布列为
表
由此得
10．设猎人在猎物100m 处对猎物打第一枪，命中猎物的概率为0.5. 若第一枪未命中，则猎人继续打第二枪，此时猎物与猎人已相距150m. 若第二枪仍未命中，则猎人继续打第三枪，此时猎物与猎人已相距200m. 若第三枪还未命中，则猎物逃逸. 假如该猎人命中猎物的概率与距离成反比，试求该猎物被击中的概率.
【答案】记X 为猎人与猎物的距离，因为该猎人命中猎物的概率与距离成反比，所以有
又因为在100m 处命中猎物的概率为0.5，所以0.5=P（X=100）=k/100，从中解
得k=50.若以事件A ，B ，C 依次记“猎人在100m 、150m 、200m 处击中猎物”，则
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