2018年武汉大学数学与统计学院653数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设函数f 在[a, b]上有定义, 且对于任给的
使得
证明f 在[a, b]上可积. 【答案】因为, 存
在相应的分割T , 使得
, 因此
而
, 故
即f 在
上可积.
, 使得
【答案】设
则
, 于是有
由假设gU ）为单调函数, 故使得
3． 证明:若单调数列
【答案】设切正整数k ,
含有一个收敛子列, 则
收敛.
是有界的. 设正数M 是的一个上界, 即对一的子列, 所以存在正整数s , 使得
收敛.
.
于是
是
不变号, 从而根据推广的积分第一中值定理, 存在
2． 证明:若在[a, b]上f 为连续函数, g 为连续可微的单调函数, 则存在
这里
表示函数g （x ）在相应小区间上的振幅. 所以
又因为函数g （x ）在[a, b]上可积,
所以对任给的
存在[a, b]上的可积函数g ,
单调递增, 它的子列收敛, 则
对任意的正整数n , 由于
这说明数列
4． 用定义证明下列极限:
（1）
是有上界的. 由单调有界定理知, 数列
'
（
2）若
（3）对黎曼函数
,
则
有
【答案】（1）设
x>0, 对
（当
因为
取
, 则当x>X时有
即
（
2）对
, 由. , 于是有
取
（3）设限个有理数
, 使得
, 对
, 因为满足, 因而可取
的正整数q 只有有限个, 从而在[0, 1]中至多只有有, 使得
内不含上述有限个有理数, 于是当, 从而
（当
, 1时考虑
,
则当
时, 有
,
从而有
, 故
, 则
, 当
时有
. 假设
时考虑单侧极限）.
时, 不论x 是有理数还是无理数, 都有
0的右去心邻域和1的左去心邻域）.
5． 设
为区间
上的连续函数, 且使得为区间
,
证明:存在【答案】因为即存在M , m , 使得又因为
上的连续函数, 所以存在最大值与最小值,
即
根据闭区间上连续函数的介值定理, 存在
使得
二、解答题
6． 若f （x ）在
【答案】设
只要取
即f （x ）在
, 又因为f ）（x ）在
. 则有
内有界.
7． 求出下列极限
, 并指出哪些是无穷小数列:
（1）
（2
） （3） （4） （5） （6） （7）
可得到以下结果:
中取中取中取中取中取中取中取
得得得得得得得
上连续, 所以存在
使得
内连续,
且
则
对
存在, 求证:f （x ）在, 存在X0
, 使得当xX 时,
内有界.
即有
【答案】根据数列极限（1）在（2）在（3）在（4）在（5）在（6）在（7）在
其中（1）、（3）、（4）、（5）中的数列是无穷小数列.