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一、证明题

1． 设由行列式表示的函数

其中

的导数都存在，证明

【答案】记

由行列式定义知f 为元的可微函数且

于是由复合函数求导数法则知

记①右边行列式中的代数余子式为

，则

从而，

代入②，得

其中

是将元素

去掉后得的n －1阶行列式，它恰为行列式

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①

②

中的代数余子式，于是由③知

2． 设f （x ）定义在[a, b]上

证明:存在子列

在x 0处有左、右导数; 令

, 使

又设

【答案】令则而

由致密性定理, 令q=l—p , 则

有收敛子列

使

3． 设f 为可导函数, 证明:若x=1时有

【答案】由复合函数求导法则, 有

由题设x=1时即

故

, 得

或

.

, 则必有

或

.

4． 证明:函数f （x ）在区间上一致连续的充要条件是:

, 只要

【答案】只要

,

. 对上述,

从而, 尽管

相应地存在但

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, 就有.

因为f （x ）在上一致连续, 所以

, 就有

, 当nN 时, 有

, 由

可知

, 此即为

. 取

显然,

,

用反证法. 函数f （X ）在上不一致连续可表述为:

但

满足

矛盾.

5． 证明级数

收敛的充要条件是:任给正数序在某正整数N ，对一切n>N总有

【答案】充分性 任给正数存在正整数N ，对一切n>N，总有

当然对n>m>N的m

有

从而

由柯西准则知级数必要性 若级数

收敛.

收敛，由柯西准则知对任给正数存在自然数N 1，当n>n> N1时，

特别地，取N ＞N 1 + 1, 则对任意n>N, 有

二、解答题

6． 求

【答案】

所示平面图形绕y 轴旋转所得立体的体积.

.

7． 长10米的铁索下垂于矿井中, 已知铁索每米的质量为8千克, 问将此铁索提出地面需作多少功？

【答案】取铁索的一小段为微元, 则有

8． 求下列极限:

（1）（2）（3）（4）（5）【答案】 （1）（2）

, 故

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