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一、证明题

1． 证明：级数1]上却不一致收敛。

【答案】对任意

级数收敛，故

记

大值，所以

从而下面讨论级数

故原级数在由于

所以原级数在

数在

2． 设

上却不一致收敛.

证明：

【答案】方法一由于是当

时，有

即方法二设

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在[0，1]上绝对并一致收敛，但由其各项绝对值组成的级数在[0，

则

进而可得

时在上取得最

上一致收敛.

上绝对并一致收敛，但其各项绝对值组成的级

因有极限点列必为有界点列，故存在

当

时，有

使令

由所以

可得

3． 设

为正数

证明：方程

在区间

与

内各有一个根.

f (X ) 为初等函数，因此f (X ) 为连续函数. 由于

由根的存在性定理，必存在令

则

即

(2) 证法二：

令

且

得.

4． 设

故方程

使得在

在

因

为

由连续函数根的存在定理知，

存在

内有一个根. 同理可证，方程. 证明：

【答案】由. 5． 设

并求【答案】

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【答案】(1) 证法一：设辅助函数

故有

使得

内各有一个根.

所以存

在

使

在

内也有一个根.

代入得

(

为正整数) ，证明：

.

移项解得

同理

移项解得

由上述结论可得

而

故

6． 设与g 是定义在

收敛，则

【答案】因为收敛. 又因为

上的函数，对任何与

并且

它们在也都收敛。

和

根据比较判别法，

都收敛，所以

也收敛。

上都可积. 证明：若

与

二、解答题

7． 计算第一型曲线积分

【答案】方法一写出曲线的参数方程：

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