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一、计算题

1． 设随机变量序列

令

独立同分布，其密度函数为

试证:

时，有

【答案】因为的分布函数为所以当对任意的即 2．

估计.

【答案】因为

服从

所以

时，有

. 当结论得证. 是来自

的样本，已知为

的无偏估计，试说明是否为的无偏

相应的密度函数为

于是

所以，经修偏，

3． 设

（2）寻求（3）证明【答案】（1）

即

不是的无偏估计，但它是的渐近无偏估计，

是的无偏估计. 是来自二点分布

的无偏估计； 的无偏估计不存在.

是

的一个直观估计，但不是

的无偏估计，这是因为

的一个样本，

（1）寻求的无偏估计；

由此可见（2）

是

是的无偏估计.

的直观估计，但不是

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的无偏估计，这是因为

由此可见

（3）反证法，倘若

是

的一个无偏估计. 是

的无偏估计，则有

或者

上式是P 的

次方程，它最多有

个实根，而可在

取无穷多个值，所以不论取

什么形式都不能使上述方程在

4． 设是来自

【答案】因为用

表示服从

上成立，这表明的样本，经计算

的无偏估计不存在.

试求

的随机变量的分布函数，注意到t 分布是对称的，故

利用统计软件可计算上式，譬如，使用则给出这里的

直接输入

软件在命令行输入则给出

就表示自由度为k 的t 分布在x 处的分布函数. 于是有

5． 为了比较用来做鞋子后跟的两种材料的质量，，选取了15个男子（他们的生活条件各不相同）每人穿着一双新鞋，其中一只是以材料A 做后跟，另一只以材料B 做后跟，其厚度均为10mm , 过了一个月再测量厚度，得到数据如下:

表

问是否可以认定以材料A 制成的后跟比材料B 的耐穿？ （1）设

来自正态总体，结论是什么？

（2）采用符号秩和检验方法检验，结论是什么？

【答案】 （1）这是成对数据的检验问题，在假定正态分布下，以记差值d 的均值， 则需检验的假设为由于

于是检验的p 值为

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. 此处15个差值为

，故可算出检验统计量值为

，

p 值小于0.05, 在显著性水平0.05下可以认定以材料A 制成的后跟比材料B 的耐穿. （2）由于两个负的差值的秩分别为5和6.5, 故符号秩和检验统计量为在使用中是完全等价的），这是一个单边假设检验，检验拒绝域为

下，可知

跟比材料B 的耐穿，二者结果一致

6． 设为独立同分布的随机变量序列，其共同分布为

试问

是否服从大数定律？

【答案】因为

即

7． 从数字

存在，所以由辛钦大数定律知

服从大数定律.

（正号和负号，在给定n=15

，

，观测值落入拒绝域，拒绝原假设，可以认定以材料A 制成的后

中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望.

【答案】记X 与Y 分别为第1次和第2次取出的数字，则

所以

8． 甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两次为止，此人即为冠军. 而每次比赛双方取胜的概率都是1/2, 现假定甲、乙两人先比，试求各人得冠军的概率.

【答案】记事件A ，B , C 分别为“甲、乙、丙获冠军”，事件乙、丙获胜”. 则

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分别为“第i 局中甲、