2017年新疆大学数学与系统科学学院715数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设f 在
(c 为常数). 【答案】由题意可知，故
其中
为常数.
收敛，并说明比式判别法对此级数无效. ，则
故比式判别法对此级数无效.
又
故
由根式判别法知此级数收敛.
3． 设f (x ) 在
(1) (2) 设(3) 若条件改为
【答案】(1)
由界. 根据单调有界定理
(2) 设因此
由于f
在
时
所以由
可推出
知，
数列为收敛数列.
上连续，对
两边取极限，得
上连续，满足则有
则
|知，
数列
有
为递减数列.
由
设
证明：
2． 由根式判别法证明级数
【答案】记
在任何有限区间内连续，且
由
积分可得
故
上有任何阶导数，
记
且在任何有限区间内
，
试证
为收敛数列；
(3) 此时(1) ，(2) 的结论仍成立.
因为当
4． 设
在由封闭的光滑曲线L 所围成的区域D 上具有二阶连续偏导数. 证明：
其中是沿L 外法线方向n 的方向导数.
【答案】因为所以
因为在D 上具有连续偏导数，由格林公式得
故
二、解答题
5． 验证下列线积分与路径无关，并计算其值：
其中
【答案】(1) 因
所以所给路曲线积分与路径无关，从而
(2) 因
所以所给曲线积分与路径无关，且
由于
6． （1）问
【答案】（1
）因为
从而
即
是以1为周期的周期函数，其图像如图所示
.
图
（2）不一定.
在球面上。
和在球面上，所以原式=0
是否是周期函数？并画出它的图形（其中
所以
； ：表示的整数部分）
按
的定义，
即得
（2）两个周期函数之和是否一定是周期函数？
例如，函動就不是周期函数.
7． 在下列数列中哪些数列是有界数列，无界数列以及无穷大数列：
（1）（2）（3）（4）（2）因为（3）因为（4）因为
8． 求下列极限：
【答案】(1)
在区域
上连续. 因此
(2)
9． 计算三重积分
其中
是由曲面
与对积分
所围的区域. 采用“先二后一”的方
在区域
上连续，因此
所以
所以
所以
是有界数列，但
是无界数列，但不是无穷大数列. 不存在.
【答案】（1）因为
是无穷大数列，也是无界数列.
所
是无界数列，但不是无穷大数列.
【答案】由于积分区域关于yOz 平面对称，所以法，则有
10．求下列幂级数的收敛半径与收敛区域：
【答案】(1) 因
故收敛半径
收敛区间为