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一、证明题

1． 设f (x ) 处处连续

，

(1) F (x ) 对任何x 有连续导数；

(2) 在任意闭区间[a, b]上，当足够小时，可使F (x ) 与f (x ) —致逼近(

即任给

均有【答案】

(1)

对一切

其中为任何正数，证明：

因为f (x ) 处处连续，所以

(2)

所以由洛必达法则可得

故对任给

2． 证明

【答案】分部积分，有

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连续，即F (x ) 对任何x 有连续导数.

当足够小时，对一切均有即所证结论成立.

3． 设

在

上连续，且有惟一最小值点

则

于是

这与最小值点的惟一性矛盾. 4． 设

在

上连续可微，并且

上连续，

上一致连续，从而则存在..

在

上一致连续，对于且时，有

所以

根据柯西准则，

此即表明

发散，这与已知条件矛盾，所以假设不成立，

即应有时，

有在

存在

对任给A>0, 存在_

上也一致连续.

使得

如果

(当

时) ，

其中C 为一常数，试证

：

【答案】

在

若由于当故当

在

在

若

.

中可选取子列

满足

由于这个

显然

【答案】假设且

子列有界，由致密性定理，可从它中再选取一个收敛子列，

仍记为

二、解答题

5． (1) 求表面积一定而体积最大的长方体；

(2) 求体积一定而表面积最小的长方体. 【答案】(1) 设长方体的长、宽、高分别为制条件为：

令

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表面积为则体积为限

解得

因所求长方体体积的最大值，且稳定点只有一个，所以最大值定而体积最大的长方体是正立方体.

(2)

设长方体的长、宽、高分别为

设

体积为v , 则表面积

令

解得 6． 求

限制条件故表面积一

故体积一定而表面积最小的长方体是正立方体.

【答案】由分部积分可得

令

则

所以

故得 7． 设

【答案】

8． 求由下列方程所确定的隐函数的偏导数：

求z 对于

，求

的一阶与二阶偏导数；

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其中，

为可微函数，求