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一、证明题

1． 设X 与Y 是中两个不同的量

【答案】假设即

从而有

产生矛盾，于是

2． 证明：

【答案】(1

)

3． 设f (z ) 是在

⑴数

【答案】

即这里

4． 证明函数

在区间

上不一致连续，但是对于任意a>0, 在

则

. 上一致连续.

从而

在区间

由比值判别法知

绝对收敛.

⑵绝对收敛.

内的可微函数，且满足：

其中

任取

定义

证明：级

则存在

证明：

【答案】(1)

方法一取

上不一致连续. 方法二

取

则存

在

取虽然满足

但是存在

上不一致连续.

(2) 当

时，

使得

从而

在区间

当’时，有

取即

5． 证明:

时，有

上一致连续.

(1) 可导的偶函数，其导函数为奇函数； (2) 可导的奇函数，其导函数为偶函数； (3) 可导的周期函数，其导函数仍为周期函数. 【答案】(1) 设f (x ) 为偶函数，则对任意

有

设I

则

故

是奇函数.

有

设

则

故

是偶函数.

故

6． 设

也是以T 为周期的周期函数. 是

上的有界连续函数，证明:对任意使得

【答案】记(1) 若存

在

使得

当

则

(2) 设f (x ) 为奇函数，则对任意

(3) 设f (x ) 是以T 为周期的周期函数. 对任意

存在数列满足

分三种情况讨论.

时，恒

有

而且

即

取

这表明记为上

由(2) 若存在(3)

若存在

是单调递增数列. 注意到的有界性，利用单调有界定理，

可得

存在，

使得当

满足

：

时，恒有

使得

这种情形可仿照(1) 证明.

.

使得而且

由连续函

于是，有

数根的存在定理知，存在

二、解答题

7． 考察函数

在点(0, 0) 处的可微性. 【答案】由偏导数定义知，

同理可得

由于

所以f 在点(0, 0) 处可微.

8． 将以下式中的

变换成球面坐标

的形式：

【答案】

故有

对上述变換

由教材

第2题的结果，得