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一、分析计算题

1． 给定系统运动微分方程

（1）证明原点是系统的平衡点；

（2）找出能表征原点是渐近稳定平衡点的李雅普诺夫函数，并使该函数满足李雅普诺夫函数条件的范围尽可能大。

【答案】（1）令（2）取李雅普诺夫函数为则有

要使该函数满足李雅普诺夫函数条件的范围尽可能大

，

2． 已知系统的状态空间表达式为

（1）判断系统的可控性和可观性； （2）求出系统的传递函数； （3）求出系统的状态转移矩阵。 【答案】（1）能控且能观。 （2）

其逆矩阵

，

应负定

，

则

可以得到

即原点是系统的平衡点。

其中，a 和b 为大于零的常数，

（3）可求得系统的特征值为0，一2。对应的变换矩阵为故状态转移矩阵为

3． 设某控制对象的动态方程为

试用状态反馈u=kx将闭环的特征值设置在以实现。

【答案】（1）系统可控性矩阵为

系统完全可控，通过状态反馈可任意配置系统极点。 令状态反馈増益向量由

得闭环特征多项式为

希望特征多项式为

比较得

故状态反馈増益向量

（2）全维状态观测器

系统可观性矩阵为

系统完全可观测，因此存在渐近稳定的状态观测器。 令

得待征多项式为

希望特征多项式

并设计特征值为

的状态观测器

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比较得

于是观测器方程为

4．

闭环离散控制系统结构图如图所示，

试求

图 离散控制系统结构图

【答案】利用等效法可得故

（2）求 Y （z ） 根据系统结构图知

整理得

5

． 采样系统如图所示，采样周期T+ls。求单位阶跃信号作用下输出信号前4个采样时刻的值

c （0），c （l ），c （2）, c （3），或以时间序列表示的表达式c （kT ）。

图

【答案】开环Z 传递函数为