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一、选择题

1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵

.

A. B. C. D.

【答案】D 【解析】由题设知所以

2． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.

A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C

【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有

又

所以有

即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*

解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此

即

分别为A ，B 的伴随矩阵，

3． 设A 是

A. 如果B. 如果秩

矩阵，则则

为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解

有非零解

有惟一解 只有零解

有零解.

C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】 4． 设

其中A 可逆，则A.

B.

C.

D. 【答案】C 【解析】因为

=（ ）.

秩

未知量个数，

5． 下面哪一种变换是线性变换（ ）

.

【答案】C

【解析】

，而

不一定是线性变换，

比如

不是惟一的.

.

则

也不是线性变换，

比如给

二、分析计算题

6． 计算n 阶行列式

【答案】（1）当y=z时，容易算得

（2）当其中

时，将第n 列写成两项和

那么

可拆成两个行列式之和，即

将②代入①得

由y ，z 对称性，类似可得

得

所以

7． 设

为数域K 上全体n+1阶对称方阵作成的K 上的线性空间，

则所有数是

又易知所有非同类项的

项数，亦即从三个元素

这也就是

8． 用正交代换化

为标准形.

【答案】4元二次型f 的矩阵（实对称）为

的维数. 由于

的维数相同，故同构.

中每次取n 个的重复组合数，即

作成

的一基，其个数就是

’展开后

都是n+1阶对称方阵，共有

个且显然为

的一基. 因此，

的维

元素是1其余元素全为零的n+1阶方阵，令

是K 上三元n 次齐次多项

式作成的K 上的线性空间. 证明：

【答案】令

A 的特征多项式

对应1的线性无关的特征向量应-1取特征向量（求

显然

特征根为的基础解系）：

的一基础解系）：

对

为正交向量组，再标准化. 得